4 次の問題について,しずかさん、れいさん,ゆうだいさんの3人が議論をしている。
問題ある学校の文化祭では、 縦8mの垂れ幕が垂直な壁にかかっていて, 垂れ幕の下端があ
る人の目の高さより2m上方の位置にある。この人が壁から何m離れて見ると, この垂れ幕
の上端と下端を見込む角が最大となるか。
しずか
右図のように、 直線 l を壁として, 点Aを垂れ幕の上
端, 点Bを垂れ幕の下端, 点Dを垂れ幕を見ている人
の目の位置とした。 この垂れ幕の上端と下端を見込む角
∠ADB の大きさを0とおいて, 0が最大となるときの
点Dの位置を求めればよい。
・れい
0が最大となるときの点Dの位置を求めたいから,点D
から直線 l に垂線 DC を下ろし、 線分 DC の長さを xm
とする。そして, 三角比を使って式を作ればよい。
ゆうだい
D
l
A
18m
B
12m
角度の問題だから, 2点A, B を通り半直線 CD に接する円をかいて, 円周角の定理あるいは
円周角の定理の逆を使えばよい。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 図とれいさんの考えを使って問題を解くとき、次の小問に答えよ。
(i) ∠ADC= α, ∠BDC = β として, tan0 を tana, tan β を用いて表せ。
(ii) tan 0 を x を用いて表せ。
(iii) 0 が最大となるときの, tan0 と xの値をそれぞれ求めよ。
(2) 図とゆうだいさんの考えを使って問題を解くとき,この人がこの垂れ幕の上端と下端を見込
む角が最大となる位置は, ゆうだいさんのかいた円と半直線 CD との接点になることを示せ。
