数三積分の問題です。 具体的に増減表がイメージできないので教えて頂きたいです。それと、tという数は不変の数なのでしょうか？？tもxも変動すると考えると何が何だか分からなくて頭がごちゃごちゃになってしまいます... 教えて頂けると嬉しいです。

〔東京学芸大] HINT ||内の式 = 0 となる値が積分区間 0≦t≦1に含まれるかど log(t+1)-10gx=0 とすると t+1=x すなわち t=x-1 積分区間は 0≦t≦1であるから, x-1≧0, 0<x-1<1, na うかがポイント。 したがっ 東習 x>0のとき、関数f(x)= Solog +1 | dt の最小値を求めよ。 xC 227 f(x)= Solog(t+1)-10gx|dt 1≦x-1 の場合に分けて考える。 (1809 +176) s [1] x-10 すなわち0<x≦1のとき log (t+1) -logx≧0 f(x)=S{log(t+1)-10gx}dt+x.ai 1 =Slog(t+1)dt-(log.x)Sdt 1721 STE 07 よって 0≦t≦1であるから 1≦t+1≦2 ゆえに t+1≧x S²x20 <Sat=[]=1 dt

数三積分の問題なのですが、オレンジペンで囲んである部分がわからないです。逆関数の積分をどう扱えばいいのか分からないので教えて頂きたいです。

逆関数と積分の等式の証明 重要 例題 222 O tinde ① f(x)= のとき. y=f(x) の逆関数y=g(x) を求めよ。 2 (1) f(x), g(x) に対し、次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+$70g(x)dx=bf(b)-af(a) 解答 指針▷ (1) 関数y=f(x) の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.134 基本例題 81 参照。) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)x=g(y) を利用。 すなわちy=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により 左辺の第2 7 ((1) ex ex+1 項 Song(x)dx を変形することを考える。 f(a) ex ex+1 y= ①から ②から *****. p.339 基本事項1. 基本 81 e-∞ ex lin erão tra l the extl X-8 ①の値域は 0<y<1 ゆえに よって (ex+1)y=e* y e² = 1 = y I= ********* V (2) (1-y)ex=y x=logi-y 求める逆関数は、xとyを入れ替えて g(x)=log 81²x (2) Sing(x)dx とする。 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y)dybe 2 また g(f(a))=a.g(f(b))=b2xf(a)→f(b) xとyの対応は右のようになる。 よって 店 tree 1=S_yf'(v)dy=[yf(y)]* -S" f(y)dy =bf(b)-af(a)-f(x) dx ゆえに Sof(x)dx+g(x)dx=bf (b) -af(a) a → b #104 T STS LORAC まず、値域を調べておく。 xについて解く。 「両辺の自然対数をとる。 loge*=x 定義域は 0<x<1 f(b) YA 1 f(a) T= 0 〔東北大〕 12 a T S x s=Sof(x)dx. T-Shing(x)dx ƒ(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 (0<a<bのとき) 345 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

数三積分の問題なのですが、なぜ3行目で常に〰︎︎または〰︎︎では無いと分かるのか理由を教えて頂きたいです。

数列の和の不等式の証明 重要 例題 232 nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。 1 1 log(n+1)<1+- + +...... + <logn+1 3 指針 数列の和 1+ 1 1 + 2 3 解答 自然数 から 1 常に+1 1 k+1 k=1Jk k≦x≦k+1のとき に対して, 1 すなわち, 曲線 y= の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を XC 証明する。 1 x •k+1 dx k よって Sa+¹ dx < 1/1/2 k k n nk+1 dx x k=1 M であるから k+1 k n-1k+1 dx 1 k+1] 1 1 k k+1 または (+) doo S xC (+1dx •k+idx +......+ x =log(n+1) 1 1 k = •k+¹ dx k x k+1dx dx < 1/2 k 21 =1k 4²0= logx 定積分の利用(面積比較) ck+¹ dx k ではない jk log(n+1)<1+ 1 は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借りる。 n 1n+1 ©から dx f" d= [108x] "=1 1+1/²/2 + 1/²/3 基本229231 演習 236237 k=13k → この不等式の両辺に1を加えて よって, ①② から n≧2のとき n y₁ 1 +.... 1 1 (2) 2√n+1-2<1+ √2+√3 y= 0 123.n\x n-1n+1 k=1Jk k=1k+1 =logn であるから 0 123･･･ n n-1 1 <D Ⅱ 式イ 1 n nick+1 dx 式 1 1 2 1 1 1+ + + 2 3 log(n+1)<1+ + +......+ 1 3 + +・ 練習 次の不等式を証明せよ。 ただし、nは自然数とする。 (3 232 1 1 (1) + + + + + + + < 2-1 (n=2) <2- n² n ++/² n 1 n 1 + 2 3 1 k + YA *@S² + S² • -≤2√n-1 1 k+1 0 k n+1 =S+ k+1' で k=1,2 n と して辺々を加える。 n <logn+1 a+1dx X +・・・・・・+ k+1 として辺々を加える。 1 <logn 1 n +...+ で k=1,2, ....... n-1 Ca+1 x .... (2) <logn+1 〔(2) お茶の水大] p.362 EX207 361 7章 36 定積分と和の極限、 不等式

209. これってどこが間違ってますか？？

である。 こなる。 無値をもつよ 囲を求めて 例題 207 =2は、関数 の和が2であ 重要 例題 209 3 次関数の極大値と極小値の差 | 関数f(x)=x-6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの 値を求めよ。 |指針>前ページの例題と同じ方針で進める。 x=α で極大値, x=βで極小値をとるとすると 極大値と極小値の差が 4 ⇔f(α)-f(B)=4 f(a), f(3) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) -f (B) を α-B, a+β,αB で表し, 更に (α-B)'=(a+B)-4cβ を利用することで,α+ß,αβ のみで表すことができる。 TERO (A0+xa-x Raythiel 答 f'(x)=3x²-12x+3a 数 のときに大竹をよ f(x) は極大値と極小値をとるから, 2次方程式f'(x)=0 すな わち3x²-12x+3a = 0 ① は異なる2つの実数解 α, β (α<β) をもつ。 よって, ① の判別式をDとすると D>0 D KETE 2=( =(-6)-3-(3a)=9(4-α)であるから 4-a>0 0090 =(a−ß){(a²+aß+ß²)−6(a+ß)+3a} 136 [38\ a. =(a-β){(a+β)2-aß-6(a+β)+3a} α+B=4, aβ=a ① で, 解と係数の関係より よって (a-β)²=(a+β)²-4aß=4²-4・a=4(4-α) x a B したがって a<4 f'(x) + 0 - 0 + f(x) の x の係数が正であるから, f(x) は x=αで極大,x=B f(x) 極大 極小 > で極小となる。 CƏSÁŽNE <3JR$ 0=> [s] f(a)-f(B)=(α3-β3)-6(α²-B2)+3a(α-β)3次関数が極値をもつとき 極大値> 極小値 α<Bより,α-β<0であるから ゆえに a-B=-2√4-a f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a) X=1 (30))=-2√/4-a{-2(4-a)} HOCSON = 4( √4-a)³ f(a)−f(B)=4であるから すなわち (√4-a)³=1 ゆえに, 4-α=1から 4(√4-a)³=4 よって a=3 √4-a=1 これは②を満たす。 今回は差を考えるので, α<βと定める。 基本208 ② から 4-a> よって √4-a>0 ◄4-a=(√√4-a)² 検討 f(α) -f (B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 f(a)-f(3) = f(x)dx=3(x-a)(x-3)dx=3[ - = (a-B)"} これにα-β=2√4-α を代入して, f(a) -f (B)=4(√4-α) となる。 . <√4-α=1 の両辺を2乗し て解く。 -p.352 基本例題 230 (1) の公式を利用。 =で極大値, x=βで極小値をとるとき, 3. E 3

下の青マーカーで囲んだ所がなぜこう言えるのか、教えてください！

例題241 定積分で表された関数の極値 関数f(x)=S_(212-3t+1)dt の極大値と極小値とそのときのxの値 を求めよ. 14+ $50 (4(z) (久留米大) axSog(t)dt=g(x) を利用して、与式の両辺をxについて微分すると, f'(x)=2x2-3x+1 2 d--a s-an 2006 ■解答 f(x)=_(212-3t+1)dt の両辺をxについて微分すると, [考え方 となる. ✔ f'(x)=2x2-3x+1=(x-1)(2x-1) (大阪) f'(x)=0 とすると, x=1, 2 したがって, f(x) の増減表は次のようになる. 1 x f'(x) + 0万円 f(x) > 極大 1 2 Focus) したがって, 極大値はx=- x=1/2のときで、 √ ( ² ) = ² · ( ² ) ² - ² · ( 2 ) ² + + 3 2 2 +530505>>t Ja -0+00E30 SIM 極小 ZEC, f(x)=√x (2²²-3t+1)dt =²l²^ "(-(0)² ‚§. f(x) を求める. 232 19 2 6 1x = [ ²3 1³ -³ 1² + 1₁ = ²3² x ²-3x²+x+ -1 6 あり(1027 よって、x=1/2のとき,極大値 x=1のとき, 極小値 (1)AJNO 2 1 19 27 + + 2 6 8 19 (x) 極小値は x=1のときで,等しい長方形の高さを f(1)=1/2313-1212312+1+10=10 (2) となるか ・13- ・1+1+- 10 3 (8)より、 *** 微分して増減表を作 る. (x)p (める. Juca th(x+1)+th(fn+°t)=(x) LA off(t)dt=f(x) f(t)dt xで微分する十分 d 極大値、極小値を求 31 第7章

数学🅰️ 赤線部分がなぜそうなるのか分かりません

130 第7章 整数の性質 重要 例題 29 ユークリッドの互除法と1次不定方程式 (1) 不定方程式 161x+19y=1を満たす整数x,yの組の中で, xの絶対値が 小のものはx=[アイ, y=ウエである。(一 (2) 不定方程式 161x+19y=5 を満たす整数x,yの組の中で,xの絶対値が最 小のものはx=オ, y=カキク である。 POINT! 1次不定方程式の整数解の1組が容易に見つからない場合は、 ユークリッドの互除法を用いる。 ( 51 参考) (2)(1) の等式の両辺を5倍すると 161(5x)+19(5y)=5 よって,(1) で見つけた整数解の1組をそれぞれ5倍したものは 161x+19y=5の整数解の1組である。 解答 (1) 161x+19y=1 161=19・8+9 (19=9•2+1 この計算を逆にたどると 1=19-9・2 ①とする｡ 移項すると 9161-19.8 移項すると1=19-9・2 ...... (01-) (ĉ— 8-) (ar =19-(161-198) ･2 =161(-2)+19･17_ したがって 161・(-2)+19・17=1 ① ② から 161(x+2)+19(y-17)=0 161 19 は互いに素であるから、③より (2) x+2=19k, y-17-161k(kは整数) よって x=19k-2, y=-161k+17 |x|が最小となるのはん=0のときであるから x=アイー 2,y=ウェ17 (2) 161x+19y=5 ④とする。 ②から 161・(−2・5)+19・(17･5)=5 ④ ⑤ から 161(x+10)+19(y-85)=0 161 19 は互いに素であるから,⑥より (5) x+10=19l, y-85-161Z(Zは整数) よって x=19-10, y=-161+85 |x|が最小となるのはl=1のときであるから x=オ9, y=カキクー76 201 0 ←xの係数 161 とyの係数 19 にユークリッドの互除 法の計算を行う。 余りが1になったところ で, 計算を逆にたどる｡ ← ① を満たす 1組の解 x=-2, y=17 が得られる。 ②×5 とすると④を満た す1組の解x=-10, y = 85 が得られる。 参考 x,yの係数の値が大きいときは,係数を小さくする方法が

赤い部分の面積を求める時って積分を使って範囲をAからBとして∮（放物線の式-円の式）としてはダメなんですか?

1 Þ A A YA B X

マーク部分についてです。 なぜCH3COOH -が0.10molになるのか教えて欲しいです。

問1 CH3COOH 0.10 初期量 電離量 平衡量 0.10-x -X Ka= CH3COO + H+ 0.10 0 +x +x 0.10+x Ex CH3COO が存在するため CH3COO がないときよりさらにCH3COOH の電離量は非常に小さいので, xは0.10 より極めて小さい。 よって, 0.10-x≒ 0.10 -0.10molのCH3COONa が式 (2) のよ うに電離しているため、 最初から 0.10molのCH3COO- が存在 80 [mol/L] [mol/L] [mol/L] 0.10 + x = 0.10 と近似してよい。 [CH3COO-] [H+] (0.10+x) xx [CH3COOH] = 0.10-x = [H+] = x = 2.0×10 なので,この溶液のpHは、 = 2.0×10-5 pH=-log10 [H+] = 5-log102.0 = 4.7 となる。 よって、が正しい。 0.10xx=x 0.10 問2 弱塩基とその弱塩基の塩であるのNH3+NH4CI の混合溶液も緩衝 作用 第7章 反応速度と化学平衡

マーカーの部分、水のイオン積についてです。 なぜ、1.0×10-7になるのかわからないです。 わかりやすく教えていただけると嬉しいです

問題 [081 水のイオン積 次の文章を読み、文中の ( に適当な数値 (有効数字2桁), 語句,式な どを記入せよ。 [] は物質のモル濃度を表すものとする。 原子量はH=1.0. 0=16とする。 水分子H2O はごくわずかに電離しており、 水素イオンH+と水酸化物イオ コンOH を生じ、 次のような電離平衡が成立している。 H2OH + OH____ (ア)式の電離定数Kは次のように表される。 K= ･･･(イ) [H2O] ここで[H2O]は一定とみなされるので, K [H2O] は一定値となり、次の 式が成り立つ。 1回目 月日 2回目 月日 K[H20] = (1) = Kw |純水においては, [H+] と [OH-] が等しく, (3) mol/Lとなり,このとき Kw は, 水の(2) とよばれ, 25℃での値は 1.0×10-14 (mol/L) 2 であり. のpHは (4)である。 また, 水の密度を1.0g/mLとすると, 純水1.0L 中 の水の物質量は (5) molである。 K= 温度一定でKは 一定の値となる 解 説) [OH-] とすると, 水の電離における平衡定数 (電離定数)は, このとき,それぞれの分子やイオンのモル濃度 〔mol/L] を[H2O], [H+]. [[H+] [OH-]] [H2O] 水は、ごくわずかに電離している。 H2OH+ + OH T ････ (ア) ここで.K.は水のイオ 25℃では, 132 ( 富山県立大 ) と表せる。 ここで, 水の濃度[H2O] は一定とみなされるので, K[H2O] [は一定 値となり, K [H2O] = Kw とおくと,次の式が成り立つ。 K [H20] = [H+] [OH-]=Kw ...(ウ) |よばれ,一定温度では一定の値になる。 例えば Kw=1.0×10-14〔 (mol/L)2 ) である。 Point 水のイオン積 Kw=[H+] [OH-] | Kw=1.0×10-14 [mol/L)) (25℃) Kwは,純水だけでなく、薄い水溶液中も成り立つ。 純水中のH+をx[mol/L] とすると, H2O 1H+ + 10H- x [mol/L] ずつ存在している [H+]=[OH-]=x[mol/L] となり、上のPoint より 25℃の純水中で次の式が 成り立つ。 [H+] [OH-] = Kw より, [mol/L] [mol/L]←H+とOHは同じ xxx = 1.0×10-14 [(mol/L)2] よって, [H+]=[OH-]=x=1.0×10-7 [mol/L] Point 2 となる。 水素イオン指数PH [H+]=107" [mol/L] のとき, pH=n 1.0(L) x Point より [H+]=1.0×10-'[mol/L] なので,このときのpHは7.0 となる。 水の密度を1.0g/mLとすると, H2O =18なので純水1.0L中には, 10³ (mL) 1(L) の水が存在する。 1: [H*][OH-] 5:56 XI H₂0 mLJ 2 1.0[g] 1(mL) HO(g) X 1 [mol] 18 [g] HO(mol) となる。 3:1.0× 10- 6 [55.5 [mol] 4 : 7.0 第7章 反応速度と化学

外分の点の取り方を詳しく教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

O 479A [線分の内分・外分] 下の図において,次の点を図示せよ。 ただし, 図 の目盛りは等間隔である。 (1) 線分ABを3:2に内分する点P □ (2) 線分ABを3:2に外分する点 Q □ (3) 線分ABを1:6に外分する点 R PX ar Jom JJATA+2A A B ++++ 481+ ◆教 p.72 例 1 in