［1］なぜ2π−αなのか図的に理解できないので教えてください 範囲を満たすためにやっているのはわかってるんですが，なぜこう表すのか理解できないです

う 重要 例題 21 複素数の極形式(2) 次の複素数を極形式で表せ。 ただし、偏角0は0=0<2πとする。 (1) cosaisina (0<a<2π) (2) sina+icosa (osa<) * 23と好 CHART @ SOLUTION 極形式r(cos+isin (1) 虚部の符号 - を+に→ sin(-9)=-sine を利用 実部も虚部に偏角を合わせる - cos (-8)=cose を利用 (2) 実部は sin を cos に 虚部は cos を sin に → COS A. Cos (e)sino, sin (6) = cose を利用 2 別解 与えられた複素数と Z = COsa + isina との図形的な位置関係から偏角 を求める。 解答 (1) cosa=cos(-a), -sina=sin(-α) であるから cosa-isina=cos(-a)+isin(-α) の形 三角関数の公式を利用 sinaticosa=cos だのか? =cos(2-a)+isin(2™-α) ① 0<a<2πより,0<2π-α<2πであるから,①は求める極形式である。 π (2) sing=cos (o), cosa=sin (フレーム)であるから 2 。 -icos a=cos (2-a)+isin (2-a) π π 0≦aより、0<a≦であるから, ② は求める極形式である。 ~² (2x - V 00000 (2) ²2=20 に関して対称であるから,の偏角は 2π-α よって z=cos (2π-a)+isin (2z-α) (2) z=sinaticosa とおくと z= (cosa-isina)=izo したがって,zはZを原点を中心と π ■αは偏角 0の条件 0≦<2πを満たさない。 基本10 YA 2π-α Zo

高校2年の河合模試の過去問です。 (3)の(ⅱ)が分かりません。 解説よろしくお願いします。

αを実数の定数とする. xの3次式 P(x)=x+3x²+3x+a があり, P(−2) = 0 を満たす. (1) α の値を求めよ。 (2) 方程式 P(x) = 0 を解け. (3)方程式 P(x)=0 の虚数解のうち, 虚部が正であるものを α, 虚部が負であるものを B と表す.また,方程式 P(x)=0 の実数解をyと表す.さらに,A=α+1, B=β+1, C=y+1 とする. (i) A'+B', A', B' の3つの値をそれぞれ求めよ. (i)を2020 以下の正の整数とする. A" + B" + C" = 0 を満たすnの個数を求めよ.

どうしてこのようになるかが分かりません 教えてください

実数解は 2 (3)方程式 (2+2i)x+(-1+2i) = 0 の解を判別をせよ。 判別式は機能しないどころか 間違った答えが出てしまう。 1=(1+i)-(-1+2)=1+2+1+1−2i=1>0 より異なる2つの実数解をもつ。 実部と虚部の比較によって考えよ。 よくある誤答 → 正しい解答 → 解の公式よりx=1+i±√(−1−)−(−1+2)=1+1=2+i,i 方程式の実数解を x=α とすると, a² (2+2i)a+(-1+2i)=0 について整理し(a2-2a-1)+(-2+2)i=0, α2-2a-1, -2α+2 は実数であるから α2-2a-1=0, -2a+2=0 Sage よって異なる2つの虚数解をもつ。 これを満たす実数解α は存在しない。

至急教えていただきたいです。

★ 複素数α に対して、 4α の実部と虚部を それぞれα,α で表しなさい。

⑶についてです なんで0のときなんですか？(実数の時)

4k を実数の定数とする。 xの2次方程式 x2+kx-k+4=0.•••••(*) がある｡ (1) k=1のとき, (*) を解け。 (2) (*)が虚数解をもつようなんのとり得る値の範囲を求めよ。 (3) は実数,9は0ではない実数とする。 g の値によらず, p-qi が実数となるようなかの値を求めよ。ただし, p+qi i は虚数単位とする。 (4) (*)の2つの解をα, βとする。さらに,α, βはともに虚数であり,αの虚部は正であるとする。このとき、(d)2 が実数となるようなんの値と,そのときのα β の値を求めよ。 ただし, 複素数a+bi(a,b は実数)に対して, a を 実部, bを虚部という。

二項定理の問題です！詳しく教えてください！

係数はケ である。 iを虚数単位とすると, 式 1+ 8 =(1+1/+1) 複素数の虚部は コ である。 の計算結果の

矢印の変換が分かりません。

(2) 次の値を求めよ。 兀 (i) {2(cos/0/+ +isin 27) 5 (1) は,ド・モアブルの定理において n = 2 として,左辺と右 方針 をくらべます。同様に n=3とすると,3倍角の公式を導くことがで ます(各自やってみてください)。 解答 (1) ド・モアブルの定理においてn=2とすると. (cos0+ isin0) = cos20+ isin20 cos20 - sin²0 +2sin@cos日•i = cos20+ isin20 よって, (2) (1) 12 (cosm 5 cos20 = cos20-sin'実部をくらべた sin20=2sin@cose -虚部をくらべた ID=28(cos7+isinz) -32 + isin (ii) 1 + i=√2 cos (ii) (1 + i) 5 TC 5 TU 4 TC 7 より -+isin- (iii) (√3+i)-³ 9 (√3+ i=2(cos+isin). 6 (√3+ i)¹ = 2(cos+isin) 9 9 COS (1 + i)={√(cos/a/f+isin- 44)=(√2)(cos/14n+isin 1/17) 2 4 4 = 16 (1+i) -3 一絶対値は25, 偏角は5×5 極形式に直した 絶対値は TU 偏角は 4 極形式に直した 絶対値 = 2³ (cos(-1/2) + isin(- 12) = ---*** 偏角は-

(1)でr=2とありますが、このrは問題文の半径rのことを言っているのであって、 zを極形式にしたときのrとは異なると思うのですが、どうなんですか？ 解答では同じとして扱っています。 難しい質問ですみません。

重要 例題 26 4 点zが原点を中心とする半径rの円上を動き, 点wがw=z+- 指針▷ と w=z+ (1) r=2のとき, 点wはどのような図形を描くか。 (2) w=x+yi(x,yは実数)とおく。r=1のとき,点wが描く図形の式を x, y を用いて表せ。 重要 25 表す図形 (1) = が同時に出てくる式には,極形式z=r (cos A+ isine) を利用するとよい。 Z 逆数をとる二乗→ドモアブルが使える (cos Oisine) により, 式が処理しやすくなることがある。 1 1 2 r FINESAN (2) z を極形式で表すことにより, x,yは0を用いて表されるので,つなぎの文字を消 去 して, x, y の関係式を導く。 それには sin²0+ cos²0=1 を利用。 CLETES 一 解答 z=r (cos0+isine) (x>0,0≦0 <2²) とすると 4 Z w=z+ =r(cosO+isine)+ 14 (coso-isine) =(x+1) coso+ (r-1) sino ... ① 1 を満たす。 202 1) r=2のとき, ① から w=4cos0 1-2 2 ={cos(-6)+isin (-9)} w=coso虚部がなくなるので

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

(3)と(5)と(6)最後の範囲の問題の解説をお願いします

有点が4個あるとき,aの後の衛開は 23のときf(x) = |ッとなる。y= f(x) のグラフと直線y=x+aの共 13);を虚数単位とし, z= -7+24i を満たす複素数2の実部が負であるとする。 2の虚部は カ 596, 49 である。 t6 このときるの実部は オ -5ンツ f 星44 64 (4) xを2Sx<128を満たす実数とし,関数y= 4(log,x)- log, (x") +log,(x°)+1 となる。したがっ を考える。1= log,rとしてyをtの式で表すとy= キ てyが最大値をとるときのt, xはそれぞれt= ク ケであり,y X= が最小値をとるときのt, xはそれぞれ!= である。 コ x=| サ 3 パーハト干冊題問 (5) 三角柱 OAB-CDE において OA = 4, OB= 3, OC = 6, AB = 5 とし,辺 AD を1:2に内分する点をP, 辺 BE の中点をQとする。また, OA = a, OB = 6, OC =Dcとおく。このとき OP と OQはa,b,c を用いて b ニ C OP =| シ 0Q =| ス となり,ACPQの面積は ソ と表せる。ZPCQ = 0 とおくと cos0 = セ し となる。 人 10 aを実数の定数とする。関数 f(x) =lxピ-9|+lx+3|は, 絶対値を使わずに 表すとxS -3のとき f(x) = | タ また -3<x<3のとき f(x) = チ ツ」となる。y= f(x) のグラフと直線y=x+aの共 有点が4個あるとき,α'の値の範囲は テ である。