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Mathematics Senior High

この問題の解答1は、赤文字のところをPS→=じゃなくて他のPQ→やPR→=にして実数倍の値を出してもいいんです?

基本 例題 同じ平面上にあることの証明 「四面体 OABCの辺0A, AB, BC を12に内分する点をそれぞれP,Q,Rと し,辺OCを18に内分する点をSとする。このとき, 4点P,Q,R,Sは同 じ平面上にあることを示せ。 指針 OB p.104 基本事項 3 基本 67 4点P,Q,R, S が同じ平面上にあることを示すには、次の [1], [2] のいずれかが成り 立つことを示す。 ? [1] PS=sPQ+tPR となる実数s, t がある。 [2] OS = sOp+tOQ+uOR,s+t+u=1となる実数 s, t, uがある。 解答 1. OA=d, OB=1, OC = とすると 2章 <[1] を用いる解法。 答 PQ=0Q-OP= 2a+1.6 1→ -S 1+2 P 26+1.c PR=OR-OP- = a=- a+ 1+2 131 PS=OS-OP=1/22-12/30-1/31+1/22 PS = sPQ+tPR とすると a=― a+ C 9 Q R B 9位置ベクトル 1→ a+ a+ 3 ++1(+16)+(+8+) S- よって1/31+1/i= (1/28-1/2)+(1/38+//+/1/31 la+ tc 右辺を の形に。 a+b+c 4点 0, A, B, Cは同じ平面上にないから 00 AO -40 1 1 2 1 からであ S- ①, -t=0... ②, s+ ③ 3 3 3 係数を比較。 3 3. 3 3019+AO 2 ② ③から S=― t= PS=sPQ+tPR を満た 3' そ OKO =-1/31/13 これは ①を満たす。 したがって, 4点 P Q R S は同じ平面上にある。 解答 2. OS=sOP + tOQ+uOR とすると++ T 1½c=s. 11a+t. 2a+b 26+c +t⋅ +u st 2 3 u t+ す実数s, tがある。 [2] を用いる解法。 19 4点 0, A,B,C は同じ平面上にないから 1/13s+/1/31=0, 1/34/4=0, //= 1/30 2 2 st t= 3 ゆえに s = 1/3.1=-1/23. 4 3' 2 3' 1 u= これはs+t+u=1 を満たす。 3 したがって, 4点P,Q,R, S は同じ平面上にある。

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Mathematics Senior High

マーカーの部分が分かりません! 合成関数についての問題です

例題 13 合成込 2以上の定数aに対して,f(x)=(x+a)(x+2) とする。このとき, ★★★☆ f(f(x)) > 0 がすべての実数xに対して成り立つようなαの値の範囲を求 めよ。 思考プロセス (京都大) 1 章 条件の言い換え すべてのxに対して すべてのxに対して すべてのxに対して f(f(x)) > 0 f(x) < -a または - (f(x)+a)(f(x) + 2) > 0 -2<f(x) (I) x) (S) Action» 不等式 f (f(x)) > 0 は, f(x) のとり得る値の範囲を考えよ (f(x)+α)(f(x)+2) > 0 drink 京都市大 f(f(x)) >0... ① とおくと (ア) a=2のとき ① は, (f(x) + 2)2 > 0 より {(x+2)2 + 2}^ > 0 (京都大) これはすべての実数xに対して成り立つ。 (イ) α > 2 のとき 一 α = 2 は題意を満たす。 関 すべての実数xに対して①が成り立つための条件は, すべての実数xに対して が成り立つことである。 f(x) <-a. ② または 2 < f(x) ... ③ ただし, f(x) は2次関数であるから,②③のいずれ か一方のみが成り立つ。 |y=f(x) (i) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, す べての実数x に対して②となることはない。 (ii) すべての実数xに対して③ となるとき ③は -2 < (x+a)(x+2) x2 + (a + 2)x + 2 (a+1) > 0 ... ④ ④がすべての実数xに対して成り立つための条件は, ☆☆☆☆ -akh 関数 p.17 大きくなる a2x y=-a y=x2+(a+2)x+2(a+1) 2次方程式 x2+(a + 2)x + 2(a+1)=0 の判別式をD とすると D<0 ... D= (a+2)2-4 • 2(a + 1) = a² −4a-4 a-4a-4 = 0 を解くと a=2±2√2 よって, α >2 より ⑤の解は 2 <a<2+2√2 (ア)(イ)より、求めるαの値の範囲は 2≤a<2+2√2 0 (+ x (1) α-4a-4<0 の解は 2-2√2 <a<2+2√2 ない点 こと

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