360 第5章 積分法
例題 164 定積分の最大・最小 (1)
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=e'costdt の最大値とそのときのxの
0≦x≦2m とする. 関数 f(x)=\
値を求めよ.
[考え方]
f'(x), f(x) を求め、 ⇒
極値と端点での
増減表をかく
解答
f(x)= =Secostat より
0≦x≦2 のとき, f'(x) =0 とすると,x=
x=2* 2 TC
πT 3
f(x) の値を調べる
f'(x)=e*cosx
(北海道大)
f(x)の最大値・最
D
小値を求める
xm における f(x) の増減表は次のようになる.
f(x)を求めるには、
分と微分の関係を用いる
excosx=0 e≠0
より, cosx=0
例題
165
f(a)=S(
(1) f(a) t
[考え方]
解答
(1)
積分
ST
(2) f(
(1){s
より
π
x
0
f'(x)
+
f(x) f(0)1
20
...
2π
2π
320 32
(1)(2)
|+
したがって、x=
3
27
>0より
COS x の符号がf(x)の
A
f(2π)
符号になる.
つまり、f(x) が最大となるのはx=-
x=/7/7または
2
x=2のときである.
Secostdt=f(e')'costdt=ecost+fe'sintdt
-e'cost+e'sint-Se'costat
th(AS+
部分積分を2回行う.
よりSecostdt=12e(cost+ sint) + C
したがって、f(x)=Secostdt=[2e(cost+sint)
π
=1/2e(cosx+sinx)
1
Secostdt を左辺に暮
頭する.
e=1
2 (1-9)8-2=
x=1/2のとき(1)=121203-12 1/2(21-1)
x=2のとき、f(x)=12-1/2=1/12(6-1)
ここで、よりf(2m)>f (
e* は単調増加で,
AA2 SFERON
練習
よって 最大値 1/2(2-1)(x=2)
2π> より
2
[164] (1)関数f(x)=Se(3t)dt (0≦x≦4)の最大値、最小値を求めよ。
***
Andr
(2) 関数 f(x)=(2-t)logidt (1≦x≦e) の最大値、最小値を求めよ。
p.391回
(2
Focus
練習
[165]
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