赤下線部は公式のようなものですか？ なぜこのように表せるのですか？

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α)a=B-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-1 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③

(3)の答えでnの位置がなぜこの場所なのかわかりません。教えて下さい。

基礎問 186 第7章 数 122 2 項間の漸化式(I) 列 次の式で定義される数列の一般項an (n ≧1) を求めよ. (2) a1=2, an+1=3an (1) α=1, an+1=an+2 (3) a1=0, an+1=an+n2 数列は規則性をもった数字の列ですから, 実際の数字を並べなくて 則を表現した式が漸化式 (「ぜんかしき」と読みます) です. 漸化式 もその規則性を明示すれば数列を表現したことになります。その規 には様々な型があり, その型によって解き方 (=一般項の求め方) が決まりま す。 これから8回にわたって, 型別の漸化式の解き方を勉強していくことに ましょう. ***** 解 答 (1) α=1, an+1=an+2は初項1, 公差2の等差数列を表すので、 an=1+(n-1)・2=2n-1 | 110] (2) a1=2, an+1=3an は初項2,公比3の等比数列を表すので、 an=2.3n-1 (3) an+1- an=n² より {an}の階差数列の一般項は n² ポイント n-1 よって、n=2のとき,40+2=1/12 (n-1)n(2n-1) k k=1 これは, n=1のときも含む. an+1=an+d 121 ポイント ⇒ {an}は公差dの等差数列 {an}は公比rの等比数列 an+1=an+f(n) {an}の階差数列の一般項はf(n) an+1=ran

３番です、赤下線部はどのような計算で導けるのですか？

基礎問 214 第7章 数 137 数学的帰納法 (II) ドール (2) nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 列 12+22+..+n²=n(n+1)(2n+1) .....① 1 n + 1 1 2 3 +:･･+ + M (1) i)n=1のとき 2n n+1 ‥. ② 手順は136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき 精講 の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 左辺=1,右辺=1/12 ･1・2･3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する. ii)n=kのとき ddst 12+22+..+k²=k(k+1)(2k+1)....①′ が成立すると仮定する. ①' の両辺に(k+1)を加えて 左辺=12+22+‥+k^²+(k+1) 2 右辺=1/2/k(k+1)(2k+1)+(k+1)² [左辺に, 1²+2²+... +k²+(k+1)² を作ることを考える = (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} = 1/(k+1)(k+2)(2k+3) これは、①の右辺にn=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

２番です、n=kとおいたときの記述が微妙に違いますがこれは何か意味があるのですか？（赤下線部） また緑下線部の分数はどこから出てきたのですか？

基礎問 214 列 第7章 数 137 数学的帰納法 (II) 十 nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 12+22+..+n²= * n(n+1)(2n+1) ..... 1 2n n n+1 (2) 1+1/+1/+ 3 +...+ 2 THR 精講 手順は136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき の式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 (1) i)n=1 のとき 左辺=1,右辺=1・1・2・3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する. ii)n=kのとき 1²+2²+...+k²=¹/√k(k+1)(2k+1)....(3 が成立すると仮定する. ①' の両辺に(k+1)^ を加えて 左辺=1+22+..+k^+(k+1)^ 右辺=1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 =/(k+1){(2k²+k) + 6(k+1)} = (k+1)(k+2)(2k+3) これは、①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する。 左辺に, 1²+2²+... +k²+(k+1)² を作ることを考える

１番です、上の赤下線部はなぜそのように言えるのですか？ また下の赤下線部は両辺ではなくなぜ右辺のみなのですか？

基礎問 214 列 第7章 数 137 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 1²+2²+...+ n² =. con(n+1)(2n+1) ① (2) 1 + 1/2 + 1² + +12_2n 3 n+1 n 精講 手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 (1) i) n=1のとき 左辺=1,右辺=･1・2・3=1 = 6 よって, n=1のとき, ①は成立する. ii)n=kのとき 1²+2²+...+k²= ¹k(k+1)(2k+1) ······ が成立すると仮定する. ①' の両辺に(k+1) 2 を加えて 左辺=12+22+..+k^²+(k+1)2 右辺= 1=-—-_-k(k+1)(2k+1)+(k+1)² =1/(1+ (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} =1/(k+1)(k+2)(2k+3) これは、 ①の右辺にn=k+1 を代入したものである. よって, ①はn=k+1 でも成立する. i), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する. 左辺に, 1²+2²+... +k²+(k+1)² を作ることを考える

マドンナ古文でわからないとこがあるのですが この4番の笛をいと〜のところのなりが伝聞推定となっているのですがなぜ断定じゃダメなのかがわかりません 解説には音で推測しているとあるのですがそれなら3番の女が〜の文も音で判断してることになるのではないでしょうか？

〇 は かげ」かヒント で推測” している。よって伝開推定。 「鳴く」は㊙。 のたかり、 ③ [女が、夜中に立田山を越える男の身の上を心配した歌を詠んだので､ ] (男は)「わが上を思ふなりけり」と思ふ。 -?- 男は「私の身の上を思ってくれているのであるなあ」と思う) 直前の「思ふ」は終体同音。 女は“目の前” で歌を詠んだのだから、 「私の身の上を思って」 くれていることは事実。 よって断定。「思ふ」は体。 ふえ ④笛をいとをかしく吹きすまして、過ぎぬなり O -?- 通り過ぎてしまったらしい) (大和物語) おもむき 重要単語 いと=たいへん をかし= 趣深い (更級日記) こうして、訳を当てはめ、 前後の文脈に根拠を探してくださいね。 (笛をたいへん趣深く吹きすまして、 直前の「ぬ」は、「過ぎ」が未 同音なので、打消「ず」の㊙か完了 「ぬ」の㊙か判断不能(第7章)。「笛」をヒントに、“音で推測”して いる伝聞推定。 「ぬ」は結果的に完了の㊙とわかる。 〈答: ①伝聞推定 ②伝聞推定 ③断定 ④伝聞推定〉 9 「なり」の識別

１番です、なぜ第(n-1)項から求めようとするのですか？

基礎問 200 130 群数列(I) 列 第7章 数 1から順に並べた自然数を, 1/2, 3/4, 5, 6, 7/8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15/16, .….. のように,第n群(n=1, 2, ...) が2″-1個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. (2) 第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3) 3000 は第何群の何番目にあるか. ある規則のある数列に区切りを入れて固まりを作ってできる群数列 を考えるときは, 「もとの数列ではじめから数えて第何項目か?」 と考えます.このとき,第n群に入っている項の数を用意し, 各群の最後の数 に着目します. 精講 解答 (1) (n-1) 群の最後の数は, はじめから数えて 各群の最後の数が基 (1+2+..+2"-2) 項目 . 準 すなわち, 2-1-1) 項目だからその数字は 2-1-1 よって、 第n群の最初の数は (2-1-1)+1=2^-1 (2)(1)より,第2群に含まれる数は 初項27-1, 公差 1 項数 27-1 の等差数列. よって, 求める総和は 2 ・2"-1{2・27-1+(2-1-1)・1} 等比数列の和の公式 を用いて計算する =2"-2(2・2^-1+2^-1-1)=2"-2(3.27−1−1) (別解) 2行目は初項27-1, 末項2"-1, 項数 27-1 の等差数列と考えて もよい。 (3) 3000 は第n群に含まれているとすると 演

数A＊反復試行 (2)で、なぜ最初のところでPkのkにk+1を代入するんですか？そして、この続きの式について解説お願いします。

206 2 1 表の出る確率が- 裏の出る確率が 3 であるボタンを10個同時に投げるとき表が個 3 (0≦k≦10) 出る確率をPとする. 次の問いに答えよ. (1) Phkの式で表せ. (1) 1個のボタンを10回続けて投げる反復試行と考えて よいから 表の出る個数がんである確率Pk は, 2 k. \10-k Pr=10Ck (0≦k≦10) 3 (2) k=0, 1, 2, …9のとき PR+1=10Cr+1( 3 ) * * * ( ²3 ) 2 k+1 119-k => 10 Cx+1( 3 ) *** (1) **) (2) Pk が最大であるんの値を求めよ. 10-(k+1) ボタンを1個ずつ投げる試行 は独立であるから,表の出る 確率が同じボタンを10個同 時に投げる試行は、1個のボ タンを10回続けて投げる反 復試行と考えてよい。 Pk+1 は, Pkのkk+1を 代入するとよい。

数A＊確率の“式” 写真にある、P(A)、P(B)、P(C)のそれぞれの途中式を教えていただきたいです。🙇🏼՞お願いします。

(7)(-u) u = () () () ¹ 2-u 2 (16) 3･2･1 I/ (Z-u)(I—u) u 9 ( 7 ) ( ) ( ) n-3

(2)が分かりません なぜnか所になるのでしょうか？

基礎問 206 第7章 数 ・am 個 本も1点で交わらないときこれらの直線によって平面が an 平面上に、本の直線があって、この2本も平行でならと (1) 133 漸化式の応用 △X 精講 列 の部分に分けられるとする. (1) a1,a2, as を求めよ. (2) n本の直線が引いてあり,あらたに (n+1) ﾌ いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか、 (3) (2)を利用して, an+1 を an で表せ. (4) an を求めよ. まず、設問の意味を正しくとらえないといけません。が含まれて いるとわかりにくいので, n) に具体的な数字を代入してイメージを つかむことが大切で,これが (1)です. ( 3 ) が最大のテーマです. 「an+1 を α で表せ」 という要求のときに,(1,02, α3 などから様子を探るのも1つの手ですが,それは136 以降 (数学的帰納法)に まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか を学習します. an と an+1 の違いは直線の本数が1本増えることです。 直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが、問題 はいくつ増えるかで,これを考えるために(2) があります. 解 答 (a₁) 図より, a=2 )本目の直線を引 2 (az) (3 図より、a2=4 (a3) (6) (4) (2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら ないので, (n+1) 本目の直線は, それ以前に引いてある n本の直線の すべて1回ずつ交わっている. よって, n か所で交わる. 図より, α3=7