EX
03
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70人の学生に,異なる3種類の飲料水X, Y, Z を飲んだことがあるか調査したところ,全員が
X,Y,Zのうち少なくとも1種類は飲んだことがあった。 また, XとYの両方,YとZの両方,
XとZの両方を飲んだことがある人の数はそれぞれ13人, 11人, 15人であり,XとYの少な
くとも一方,YとZの少なくとも一方, XとZの少なくとも一方を飲んだことのある人の数は,
それぞれ 52人, 49人, 60 人であった。
(1) 飲料水X を飲んだことのある人の数は何人か。
(2) 飲料水Y を飲んだことのある人の数は何人か。
(3) 飲料水Zを飲んだことのある人の数は何人か。
(4) X,Y,Zの全種類を飲んだことのある人の数は何人か。
[ 日本女子大 ]
飲料水 X,Y,Zを飲んだことのある人の集合をそれぞれX,Y, ←X,Y, Z がどんな集
Zとする。 与えられた条件から
合であるかを記す。
n(XUYUZ)=70,
002
n(XNY)=13, n(YNZ)=11, n(ZNX)=15,
$0 n(XUY)=52, n(YUZ)=49, n(ZUX)=60
n(XUY) =n(X)+n(Y)-n(XY) から
EX0n
n(X)+n(Y)=65 ①
n(YUZ)=n(Y)+n(Z)-n(YNZ)
n(Y)+n(Z)=60 ...... ②
n(ZUX)=n(Z)+n(X)-n(ZnX) *5
n(Z)+n(X)=75 ...... ③
① +② +③ から
......
n(X)+n(Y)+n(Z)=100..... ④
(1) ④② から n(X)=40 (人)
(2) ④③ から
n (Y)=25(人)
(3) ④-①から
(4) n (XUYUZ)
n(z)=35 (人)
=n(X)+n(Y)+n(Z)-n(X∩Y)
-n(YNZ)-n(ZÑX)+n(XÑYOZ)
から(XYZ=70-40-25-35+13+11+15=9 (人)
←XUYUZ=0 である
から, Uを全体集合とす
ると
n(XUYUZ)=n(U)
←個数定理
[x+y=a
←連立方程式y+z=b
lz+x=c
は、3式の辺々を加える
とらくに解ける。
←3つの集合の個数定理
