基礎問
59 微分可能性
関数 f(x) を次のように定める
(
logx
(x≥1) 0 /=
(1)(2)
f(x)={
IC
x2+ax+b (x<1)
このとき,関数 f(x) が
=1で微分可能であるように, a, b を定め
log(1+h)
よ. ただし, lim
-=1 は用いてよい
0+4
h
精講
f(x)が x=a で微分可能とは,f'(α) が存在することを意味しま
すから,ここではf'(1) が存在することを示します.
定義によると lim
f(1+h)− f(1).
h→0ah
1=f'(1) ですが,1+hと1の大
小,すなわち, h>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので, ん → + 0,
h0 の2つの場合を考え,
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
=lim
52 左側極限,
ん→+0
h
h➡-0
h
右側極限
が成りたてば
mie
lim
1:00 ƒ(1+h)− ƒ(1)
-mil
が存在する
ん→0
1117
ことになり、目標達成です. これだけでα, bの値は求
められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利
使用してαと6の式を1つ用意しておくと, ラクに a, b
の値を求められます。
53
解答
まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ.
..
lim (x2+ax+b)=0
x→1-0
よって, 1+α+6=0
...①
このとき, (()
x→1
log1=0
f(1+h)-f(1)
lim
ん→+0
h
= lim
h+ohl
1/log(1+h)
1+h
(1)
