/2x
ついて
ここで
必要は
につ
xXx-2)
このx座
は原点
こ凸の放
251 3次曲線と接線の間の面積
00000
|曲線 y=x2-5x2+2x+6 とその曲線上の点 (3, -6) における接線で囲まれた図
SPAR
形の面積Sを求めよ
・基本 248, 250 重要 252
例題
基本
指針
面積を求める方針は
① グラフをかく 2② 積分区間の決定
③ 上下関係に注意
本問では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
また、積分の計算においては,次のことを利用するとよい。
3次曲線 y=f(x)(x3の係数が α)と直線y=g(x) が x=α で接するとき,等式
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β) が成り立つ。
20
y=3x²-10x+2であるから,接線
解答の方程式は
CAUSE OF 6
y-(-6)=(3・32-10・3+2)(x-3)
すなわち
y=-x-3
この接線と曲線の共有点のx座標
は,x-5x2+2x+6=-x-3の解
HOS
である。
IŠBAS HRU
これから x5x2+3x+9=0(*)
ゆえに
(x-3)^(x+1)=0
よって
x=3, 2-10%
したがって,図から, 求める面積は
S=S²_₁ {(x³-5x²+2x+6)-(-x−3)}dx
=(x-3)²(x+1)dx
Ex
-1
-64+
-6
=(x-3)^{(x-3)+4}dx={(x-3)+4(x-3)"}dx
73
= [(x-3)*1₁+4 [(x − 3)² ] ³₁
(x-3) 13
3
==
3
256 64
3 3
TEST > A
x
TO
ROME
曲線 y=f(x) 上の点
(α, f(α)) における接線
の方程式は
y-f(x)=f'(a)(x-α)
左辺が (x-3)を因数に
もつことに注意して因数
分解。
1
-5 3 9|3
3
-6 -9
-3
1
1
-2
3
1
3
0
0|3
393
◄(x-a)²(x-B)
|=(x-a)^{(x-a)-(B-α)}
f(x-a)"dx=
(x-a)+1
n+1
+C
