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Mathematics Senior High

数三微分法の問題なのですが次数がnの場合にゼロになるように解説では考えているのですが次数n-1がゼロになる場合は考えなくて良いのですか?教えて頂きたいです。

分け EXxの整式 f(x)がxf(x)+(1-x)f'(x)+3f(x) = 0(0)=1を満たすとき、f(x)を求めよ。 ③ 132 f(x) の次数をn (nは0以上の整数) とする。 [類 神戸大] HINT f(x) の最高次の n = 0 すなわち f(x) が定数のとき, f (0) =1から このとき f'(x) = 0 f'(x)=0 f(x)=1 項に着目して、まず f(x) の次数を求める。 条件式に代入すると, 3f(x)=0となり これはf(x)=1に反するから,不適。 f(x) = 0 n≧1のとき,f(x) の最高次の項を ax (α≠0) とする。 xf'(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0の左辺を変形して {3f(x)-xf(x)}+{f(x)+xf" (x)}=0 f(x) xf'(x) の最高次の次数はnであり, 3f(x)-xf'(x) ←3f(x)-xf'(x) の次数 のn次の項について 3ax"x.naxn-1=(3-n)ax" 条件から (3-n)ax=0 α≠0 であるからn=3 土て相殺されて しまう可能性はない?? したがって, f(x) の次数は3であることが必要条件である。 このとき,f(0)=1から,f(x)=ax+bx2+cx+1 (α≠0) とお けて f'(x) =3ax2+2bx+c, f'(x)=6ax+26 はn以下,f'(x)+xf(x) の次数は (n-1) 以下。 xf"(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0に代入して x(6ax+26)+(1-x) (3ax2+2bx+c) +3(ax3+bx2+cx+1)=0 整理して笑(a+b)x2+(46+2c)x+c+3=0 08 ←Ax2+Bx+C=0がx よって 9a+b=0,46+2c=0, c+3=0) の恒等式 = (n) ⇔A=B=C=0

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Mathematics Senior High

☆高校数学IIです☆ 微分の問題なのですがグラフまで書けたのですが範囲が納得できません!! (2)なのですが、負の解ひとつと正の解2つと問題に書いてあるので私は0以上m以上5と思ったのですが違いました。 答えは-27<m<0になります!!

微分法 例題 210 実数解の個数(1) **** 3次方程式 -3x²-9x-m=0 m は実数の定数)について 次の問い に答えよ. (1)異なる3つの実数解をもつとき, mの値の範囲を求めよ。 (2)1つの負の解と異なる2つの正の解をもつとき、mの値の範囲を求 [考え方] 与えられた方程式を、 m=x-3-9x のように定数を分離して ①(笑)g= 直線 y=mと曲線 y=x3x9x の wwwwwwwwwww 位置関係を調べる。 解答 ly=x-3x²-9x 定数を分離する wwwwww 実数解の個数は、直線と曲線の共有点の 個数と同じであることを利用する. (1)3-9x-m=0 を変形して.m=x-3-9x [y=m ......① 1y=x-3x²-9x … ② とおく. 与えられた方程式の異なる実数解の個数は ①と② のグラフの共有点の個数と一致する. ②より、y'=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) y'=0 とすると, x=-1,3 の増減表は次のようになる。 -I I 3 y + 0 - 0 + 極大 極小 y 7 5 -27 ②のグラフは右の図のようになる。 よって、グラフより 異なる3つの実数解を もつmの値の範囲は, -27<m<5 (2)直線 y=mと曲線 y=x3x9x が小を x<0で共有点を1個, 0x で共有点を2個も つようなmの値の範囲を求めると、 グラフより、 -27<m<0 -55 2個 0 3個 -27 2個 1個 ocus 方程式 f(x)=a 曲線 y=f(x) の実数解の個数 [直線 y=a の共有点の個数 (文字定数は分離せよ) > 方程式 f(x)=αの実数解は、曲線 y=f(x)と直線y=aの共有点のx座標である。 3次方程式+5x+3x+α=0 の実数解の個数は、定数αの値によってどの ように変わるか調べよ AR p.410回国 最大

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Mathematics Senior High

積分法の問題を教えて頂きたいです。(2)でx=1の時(1)の和を微分したものではなかったのでxが1出ない時の計算も和を微分しては行けないのではないかと思ったのですがなぜ微分できるとわかったのでしょうか?教えて頂きたいです。

G EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。 ⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+...... n ・・+nx"-1 を求めよ。 n (3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い てよい。 n=1 2n 2n [類 東北学院大 ] (1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場 合分け。 ら第n+1項までの和であるから 1+x+x2+······+x=. 1-xn+1 1-x ① ← x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1 (2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI- 1+2+3x²+....+nx" n-1 -(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1) (初項){1-(公比)項数} 1-(公) ←1x(n+1) ←(x)' 0-1 ・(-1)(*)←(%)=o_ur (1-x)2 よって 1+2x+3x2+......+nx" _n-1= nxn+1−(n+1)x +1 (1-x)2 ② ←)の右辺の分子を整 x=1のとき 1+2x+3x2+ +nxn-1 理。 (x)=(x) 1 (笑)=1+2+3+・・・ •+n=⋅ 2 (+1) n(n+1)(x)(x)= (3)x=1/2 ②の両辺に代入すると =(x) n 比部分は 2 3 n 1+ + +…+ = 2 22 2n-1 2n+1 2n k n n+1 両辺を2で割ると IM = k=1 ゆえに = 2(12/2 nk n . よってm=lim k=12k こ k=12k 8 2n+1 n 1 - 2n 2n 2n n ****lim-lim2(+1) n=12n n→∞ =2 20 2" 2+1) n 01 n+1 +1)*(- n=1 27 12 であることに注目し (x)0 2 x=1/2 を代入。 nk ←部分を求めた k=12k - +1 n = ことになる。 0= 22" D +2(-0-0-0+1)

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