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重要 例 例題 187 面積
| 曲線 C:y=e 上の点P(t, e') (t>1) における接線をl とする。 Cとy軸の共
有点をA, lとx軸の交点をQとする。 原点を0とし, △AOQ の面積をS(t)
とする。 Q を通りy軸に平行な直線, y 軸, C およびlで囲まれた図形の面積を
T (t) とする。
(1) S(t), T(t) をtで表せ。
解答
T(t)
S(t)
を利用する｡
計まず、グラフをかいて、積分区間やCとの位置関係を確認する。t>1に注意。
(1) A(0,1)である。また, lの方程式はy-e=el(x-t) (ex)'=ex
←
この方程式において, y=0 とすれば, 点Qのx座標がわかる。
(2) まず. を求める。 そして、 極限値を求める際は lim-
0 XC
(2) lim
(1) 点Aの座標は (0, 1)
y=ex より y = ex であるから, 接線lの方程式は
y-et=et(x-t)
すなわちy=e'x+(1-t)et.
① において, y=0 とすると
よって
x=t-1
ゆえに、点Qの座標は
したがって
ゆえに
T(t)
→ 1+0 S(t)
et-1-1
s(t)=1/2 · (t−1)·1=-² t-1
2
またT(t)='"^'[ex_{e'x+(1-t)e'}}dx
lim
→1+0 t-1
-[²-x² + (1-1)e²x ¹ = ²(t-1)²+e²-¹-1
2
T(t)
et
(2)
756) = -²2₁ [ {(t−1)² + e²-¹-1}=e²(t-1)+
S(t)
t-112
ここで, t-1=s とおくと, t → 1+0 のとき
よって
lim T(t)
1+1+0S(t)
0={x+(1-t)}et
(t-1, 0) t-1>0
(1)
e³–1
を求めよ。
=lim
8 +0 S
·=0+2・1=2
-=1
(2) lim
2(ef-1-1)
t-1
s → +0
練習 g(x) = sin' x とし, 00<πとする。 xの2次関数y=h(x)のグラフは原点を調品
③ 187 としん(0)=g(0) を満たすとする。 このとき, 曲線 y=g(x) (0≦x≦)と直線
x=0およびx軸で囲まれた図形の面積をG(0) とする。 また, 曲線 y=h(x)とい
線 x = 0 および x軸で囲まれた図形の面積をH(0) とする。
(1) (0) H (0) を求めよ。
G(0)
を求めよ
0+0 H(0)
e*-1
1
[類 東京電機大]
・基本 81, 177
= 1 (p.121 参照)
X-0
T(t)
/t-1
1Q
積分区間においてC
は常により上にあ
る。
lime(t-1) 20
解答
(3)
(2)
S'
0<a<
範囲で
である
右のよう
よって,
習 f(x)=ex-
188
(1) t は実数
で囲まれた
