よ。
0.30
日本 例題 35
図形と漸化式 (1)
403
00000
「上の円は同一の点では交わらない。 これらの円は平面をいくつの部分に分け
「平面上にn個の円があって,それらのどの2個の円も互いに交わり,3個以
るか。
CHART & THINKING
漸化式を作成し, 解く問題 (求める個数を α とする
1a1, a2, a3,
2 an
と
・・・・を調べる (具体例で考える )
の関係を考える ( 漸化式を作成)
① まず, n=1, 2, 3 の場合について図をかくと、下のようになる。
基本 29
1章
この図を参考に, an+1 を an との式で表した漸化式を作ろう。 円を1個追加すると,
平面の部分は何個増加するだろうか?
n=1
n=2
n=3
漸化式
入。
の
A
⑤
7
④
③
平面の部分は+2
(交点も+2)
平面の部分は +4
(交点も+4)
答
n個の円によって平面がα 個に分けられるとするとa=2
分割された弧の数と同じだ
平面上に条件を満たすn個の円があるとき,更に,条件を満け平面の部分が増える。
たす円を1個追加すると, n個の円とおのおの2点で交わる
から交点が2個できる。 この2n個の交点で, 追加した円
が 2n個の弧に分割される。これらの弧によって, その弧が
含まれる平面の部分が2分割されるから, 平面の部分は 2n
個だけ増加する。
0 よって
ant=an+2n
ゆえに
an+1-an=2n
よって, n≧2 のとき
n-1
an=a+22k=2+2•
+2.12(n-1)n=n-n+2
k=1
=2であるからこの式は n=1のときにも成り立つ。
したがって, n個の円は平面を (n²-n+2) 個の部分に分ける。
PRACTICE 35
階差数列の一般項が2n
n=1 とすると
1-1+2=2
n≧2 とする。 平面上にn個の円があって, それらのどの2個の円も互いに交わり,
3個以上の円は同一の点では交わらない。これらの円によって, 交点はいくつできる
「か。
