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数列の和と一般項, 部分数列
P.494 基本事項4)
基本 127
基本 例題 105
(2)
(1) 一般項 αn を求めよ。
初項から第n項までの和S が S = 2n-nとなる数列{a} について
00000
和a+a3+α+......+a2n-1
を求めよ。
指針 (1) 初項から第n項までの和S と一般項an の関係は
S=a+az+......+an-s+an
n≧2のとき
-)Sn-1=a1+a2+…+an-1
分数の数列
基本例
次の数列
n=1のとき
Sn-Sn-1=
a=S₁
an
ゆえに
数列の和 Sm がnの式で表された数列については, この公式を利用して一般項 αを求め
る。
.........
(2) 数列の和→
まず一般項(第五項) をんの式で表す
指針 第
ない
差の
2k
a3.
....... a2k-1
第1項 第2項 第3項,······, 第k項 an n=2k-1 を代入して第ん項の式を
よう
→
求める。
この
解答
a1,
a5.
なお, 数列 a1, A3, A5, ......, A2n-1 のように, 数列{az}からいくつかの項を取り除HAR
できる数列を,{a} の部分数列という。
(1)n≧2のとき
また
an=S-Sm-s=(2n2-n)-{2(n-1)^-(n-1)}
=4n-3 ...... ①
a1=St=2.12-1=1
ここで, ① において n=1 とすると
4S-2n²-n Cab
Sr-1=2(n-1)-(n-1)
初項は特別扱い
分数の
解答
この数列
α=4・1-3=1
よって, n=1のときにも①は成り立つ。
したがって an=4n-3
ann≧1で1つの式に
される。
求める利
S
(2) (1)より, a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから
azk-1 は α=4n-3におい
as+a+as+... +α2n-1=
=
=a2k-1=(8k-7)
k=1
てに2k-1を代入。
k=1
=8.11n(n+1)-7n=n(4n-3)
k.1の公式を利用。
受け
検
n≧1でan=S-S となる場合
例題 (1) のように, a,=S,-Sm-1でn=1とした値とαが一致するのは、S” の式でn=0 とした
とき So=0 すなわちの整式 S の定数項が 0 となる場合である。 もし、S=2n-n+1(定数)
項が0でない)ならば, α = S1=2, an=Sn-Sm-1=4n-3 (n≧2) となり 4n-3n=1とは
値と αが一致しない。 このとき、最後の答えは 「α=2, n≧2 のとき α=4n-3」 と表す。
一習初項から第n項までの和 S が次のように表される数列{az} について 一般項
15 am と和α+αs+α7++α37-2 をそれぞれ求めよ。
(1) Sn=3n²+5n
(2) S=3m²+4n+2
次の
練習
106
