43, ……)どうしに成り立つ漸化式,つまり, a2h+1 を 42k-1で表す式を立てて解き,もとの漸化式に戻っ
nの奇偶で形が異なる漸化式は, n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項(a,
13 奇偶で形が異なる漸化式
n
(n=2, 4, 6, …)
n+1
(n=1, 3, 5, …), an+1=an+
2
次のように定められた数列がある。
=1, an+1=ant
]である。
ag=
AG=
(1) 2=
ag=
である。
(2) a39
A40=
である。
(明大·農)
(3) 初項から第40項までの和は」
奇偶で形が異なる漸化式
て a2 を求める。.
■解答
1+1
-=2, a;=02+
2
2
=3,
2
(1) a=1より, az=a+
5+1
4
-=7, as=as+
=10, a,=as+。
2
3+1
-=13
a4=s+-
=5, as=a4t
2
2
(2)n=2k-1のとき,
(2k-1)+1
a(2k-1)+1=2k-1
42=2k-1+k
2
の
2k
n=2kのとき,a2k+1=@28+
=2k+k
2
の, のより,C24+1=424+k=(a2k-1+k)+k=a2%-1+2k
n22のとき,
令奇数項についての漸化式を立て
て奇数項を求める.偶数項は奇
数項からすぐに分かるので,議
項についての漸化式は立てる。
要はない。
C2n-1=4+(as-a,)+(as-as)+…+(@2n-1-2n-3)
n-1
n-1
=a+と(2+1ー2k-1)=1+ 2 2k=1+2· (n-1)n
k=1
k=1
=n?ーn+1 (n=1のときもこれでよい)
3)
のから, a2n=42n-1+n=n"+1
3, ④でn=20 として, as9=20?-20+1=381, a:0=202+1=401
(3) 3, ④より
20
20
2(a2nー1+a2n)=X (2n?-n+2)
n=1
n=1
=2-20-21-41-20-21+2-20=5570
n
a2a= na
k=1
