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位置ベクトルと内積 なす角
重要 例題 58
1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=6, AC=c, AD=d とする。
辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし,線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 と
[類熊本大)
する。
で表せ。
(1) AN, AG, BG をそれぞれ
(2) GA, GA・GB をそれぞれα を用いて表せ。
指針
(1) 中点の位置ベクトルの利用。
(2) |GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG
(3) GA-GB=|GA || GB | cos0
BG=AG-AB=-(-36+c+d)
(2) 16|GA|=|4AG³²=(b+c+d)·(b+c+d)
であることに注目すると |GA|=|GB | ..........
よって, ① は GA・GB=|GA | cos0 となるから, (2) の結果が利用できる。
解答
(1) AN=(c+d)
AG-1/12(AN+AN) /12/12/3+1/12(+2)=1/12(1+2+2)
=161²+|c³²³+la 1²+2(b•c+c•d+d·b)
=3a²+2×3a²cos60°=6a²
(2) から
16GA GB=4AG 4BG=(b+c+d)·(−3b+c+d)
=-3161²+1²+1d²-2b-c-2b-d+2c.d
=-a²-2a² cos 60°=-2a²
|GA³²=3 a², GA•GB=_ª²
よって
8
(3) AM=BM, AN =BN であるから AB MN
1 ゆえに,|GA|=|GB|であるから
GA・GB=|GA||GB|cos0=|GA|cost
(1) の結果を利用して計算。
ここで, ABN は AN=BN の二等辺三角形
a²
8 8
3
=
基本 49
-a² cos 0
(3) cose の値を求めよ。
ゆえに
cos0=-
B'
113
b
M
C
4161=|c|=|d|= abb
b·c=c∙d=d.b
=a² cos 60°
分数の計算を避けるた
4AĞ=b+c+d.
ABG-36+c+d
として計算。
<|AÑ|=|BN|=
◄GA GB=-
N
a²
8
2
3
IGA = a² を代入
(3) PQとPR のなす角を求めよ。
練習 1辺の長さが1の立方体ABCD-A 'B'C'D' において, 辺AB, CC', D'A'
③58 α (1-α)に内分する点をそれぞれ P, Q, R とし, AB = x, AD=y, A.
とする。 ただし, 0 <a <1 とする。
[類 センタ
(1) PQ, PR をそれぞれx,y,zを用いて表せ。
(2) |PQ| |PR| を求めよ。
Cp.44
