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重要 例題221 無理関数の不定積分(2)
x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。
(1) ST
(2) √√x²+1 dx
S
基本220
指針根号内が2次式の無理関数について、d-x"や、x+αを含むものはそれぞれ
x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが, 後者の場合, 計算が面倒になることが
1
√x²+1
CHART x+Aを含む積分
ゆえに
-dx
ある(次ページ参照)。そこで,x+A (Aは定数) を含む積分には,
xx
=tとおく(･････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。
(2)√x+1=(x^x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。
よって
解答
(1) x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt
x2+1+x
√x2+1
ゆえに
1
x2+1
-dx = dt すなわち
-dx=
x+√x+A=tとおく
1
x2+1
dt
したがって dt = log|t|+C エージール
S= x=Sdt=log|t|+C
x2+1
=log(x+√√x²+1)+C
(2) Svx+1dx=f(x)'√x+1dx=xvx°+1-$x+1 -dx
20%==x√x²+1 =√x²+1=1 dx
***©>=x√x² +1 −√(√x ² + 1
-dx
=x√³x² + 1 - S√x² +1dx +S-
f(x+1+1
-dx=dt
練習
(4) 4 221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。
(1) S
dx
100
x2+1
1
10²1²_2√√x²+1dx=x√x²+1 + √√√ ₂ ² + 1 x
dx
√x²+1
*₂= √√x² +1dx = = = ( x√x² +1+√√√₂+²+1²
(1)の結果から
00000
-dx
(2) √√√x²² +₂²₁
.2
<(√x2+1)^
={(x²+1)²}'
=
= 1/(x²+1)¯ ¾ • (x²+1)′
2x
-= 2√√x²+1==√x²³+1
<√x2+1>√x2=|x|から
x+√x2+1>0
よって, 真数は正である。
<x2+1=(√x2+1)^2に着目
して,分子の次数を下げる。
fx-1dx=1/12(xv/x+1+log(x+√x+1)}+C
同形出現。
→ p.363 の解答で Ⅰ を求
めるのと同様の考え方。
x+√x+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して、次の不定積分を求めよ。
に (1) の結果を利用。
よって
Am
