-
![]()
重要 例題 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める
①①①
n
一般項がαn=(-1)"+1n2 で与えられる数列 {an} に対して, Sn=Σakとする。
(1) a2k-1+a2k (k=1, 2, 3,･････) をんを用いて表せ。
k=1
(2)n=(n = 1, 2, 3, ......) と表される。
1
章
章
指針
(2) 数列{a} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。
次のように項を2つずつ区切ってみると
=b₁
=b3
3種々の数列
Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+......
=bz
上のように数列{bm} を定めると, b=akazk (kは自然数) である。 よって, m
を自然数とすると
[1] n が偶数, すなわち n=2mのときはS(42-1+azk) として求め
られる。
k=1
k=1
[2] n が奇数, すなわち n=2m-1のときは, S2m=S2m-1+a2m より
S2m-1=S2m-am であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。
このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1) azk-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+ (−1)2k+1(2k)2
=(2k-1)^-(2k)²=1-4k
解答
2 [1]=2mmは自然数)のとき
m
m=
m
S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k)
k=1
k=1
=m-4.12m(m+1)=-2m²-m
=1であるから
n
n
=-20
-2(2/2)² - 2 = -1/n (n+1)
Sn=
[2] n=2m-1 (mは自然数) のとき
azm=(-1)2m+1(2m)2=-4m² であるから
S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m
(1)週数=1, (1) 奇数=-1
={(2k-1)+2k}
×{(2k-1)-2k}
Sm=(a1+az)
+(a3+α)+......
+(a2m-1+a2m)
Sm=-2m²-mに
m=1/27 を代入して,n
の式に直す。
S2m=S2m-1+a2m
を利用する。
n+1
m=
であるから
2
Sn=2(n+1)-n+1=1/12(n+1){(n+1)-1}
=/1/21m(n+1)
(−1)"+1
[1] [2] から
Sn=
-n(n+1). .. (*)
2
S2m-1=2m²-mをnの
式に直す。
TRAH.
(*) [1] [2] のSn の式は
符号が異なるだけだから,
(*)のようにまとめるこ
とができる。
