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基本事項
列
例題
一般項がan=(-1)"+1n2で与えられる数列 {an} に対して, Sn=ak とする。
1+a2k (k=1, 2, 3, ......) をん を用いて表せ。
■(n=1, 2, 3, ・・・・・・) と表される。
(1) a2k-1
k=1
次のように項を2つずつ区切ってみると
(2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。
Sn=(12-22)+(32−42)+(52-62)+......
=b₁ =b₂
=b3
......
「上のように数列{bn} を定めると, bk=azk-1+a2k (kは自然数) である。 よってm
を自然数とすると
m
[1]nが偶数,すなわちn=2mのときはSam=bx=(2-1+a2k)として求め
られる。
[2]が奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam=S2m-1+α2mより
S2m-1=S2m-a2m であるから, [1] の結果を利用して Szm-1 が求められる。
このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1)偶数=1, (−1)奇数=-1
={(2k-1)+2k}
項を,
書く
(1) a2k-1+azk=(-1)2k(2k-1)^+ (−1)2k+1(2k)2
みを目指×{(2k-1)-2k}
解答
末 (
ISzm= ( a1+az)
会比3,
数列
=(2k-1)^-(2k)=1-4k
12mmは自然数)のとき
m
S2m=Σ(a2k-1+a2k) = Σ (1−4k)
k=1
er.x=m-4.1m(m+1)=-2m²-m
基本
m=
であるから
式を導く
Sn =-2(2)-=-n(n+1)
[2] n=2m-1(mは自然数)のとき
azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから
S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m
+(as+as)+......
+ ( azm-1+azm)
1Szm=-2m²-mに
=727 を代入して,n
m=
の式に直す。
Sam=S2m-1+a2m
を利用する。
n+1
m=
であるから
2
Sm=2(n+1)_n+1=1/2(n+1)((n+1)-1}
=1/21m(n+1)
[1] [2] から
(−1)"+1
Sn=(-1)*1,
-n(n+1)
(*)
2
=(-1)+++S+I
S2m-1=2m²-mをn
式に直す。
TRAHD
(*)[1] [2] のSの
符号が異なるだけた
(*)のようにまとめ
とができる。
