基本 例題 60 有理数と無理数の関係
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(1) a, b が有理数のとき,a+b√2=0ならば a=b=0であることを証明せよ。
ただし,√2 は無理数である。
(2) 等式 (2+3√2)x+(1-5√2)y=13 を満たす有理数 x, yの値を求めよ。
[ (2) 奈良大] 重要 53 基本58
指針▷a+b√2=0であって b=0 のとき,a+0√2=0からa=0 となるから,命題 「α, b が有
理数であるとき,a+b√20ならば6=0」 を証明する。
Th
直接証明するのは難しいから, 背理法を利用する。 具体的には,
「a+b√2=0であって60である有理数 a, b がある」
として矛盾を導く (命題の否定は例題 53 参照)。
背理法では命題が成り
立たないと仮定して矛
盾を導く。
解答
(1) a+b√2=0であってb=0である有理数 α, bがある,
と仮定する。
60である有理数 6があるとすると, a+b√2=0 から
√2-a
b
①
a b は有理数であるから,①の右辺は有理数であるが,こ有理数の和差積・商は
有理数である。
れは √2 無理数であることと矛盾する。
したがって
「α, b が有理数であるとき, a+b√2=0ならば6=0」
a+b√2=0であって6=0のとき, α = 0 であるから,
a b が有理数のとき
a+b√20ならば a=b=0である。
(2) 与式を変形して 2x+y-13+(3x-5y)√2=0
x, y が有理数のとき, 2x+y-13, 3x-5yも有理数であり,
√2 は無理数であるから, (1) により
2x+y-13=0
① ② を連立して解くと
①, 3x-5y=0
x= 5, y=3
*****.
②
a+b√2=0 の形に。
の断りは重要。
「
