題 50 高次方程式の虚数解
複素数 3-iが3次方程式x+ax+b=0 の解となるような実数の
定数a,b の値を求めよ。 また、残りの解を求めよ。
思考プロセス
<< Action 実数係数の方程式の虚数解が与えられたときは, 共役な複素数も解とせよ
条件の言い換え
(解の1つが)
x=3-i
(共役な複素数
x=3+iも解
(a+2)x+(b-20)
この余りは0となるから
a+2=0, b-20 = 0
これを解くと
〔本解〕
3-iと3+iを解にもつ2次方程式
KATCHE
(2次式)=0 に対して
〔別解1] 方程式にx=3-i を代入
a=-2,6=20
解係数がすべて実数であるから, 3-iと共役な複素数 3 + iPoint 参照
例題も解である。
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ここで, 3-iと3+iを解にもつ2次方程式の1つは
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x² − {(3−i)+(3+i)}x+(3−i)(3+i) = 0
このとき、方程式は
〔別解2]
残り1つの解をα とすると
すなわち
x²-6x+10=0
よって,x-4x+ax+bは3-6x+10で割り切れる。)、
右の計算より
商はx+2
余りは
x +2
x² - 6x +10) x³-4x² +
x-6x2+
(x+2)(x2-6x+10) = 0,
x 2.3 ±i
(2次式) (1次式) と因数分解できる。
解と係数の関係より
[(3−i)+(3+i)+a= [
これを解くと
したがって, 求める残りの解は
〔別解 1)
(3-i) (3+i)+(3+i)a+a(3−i)=
|(3− i)(3+i)a=0
2x2-
ax+b
10x
2x2+(a-10)x +6
12x+20
(a+2)x + (b-20 )
x = -2,3+i
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
x2-(和)x+(積) = 0
x=3i を解にもつ2次
方程式は x-3=-i0
両辺を2乗して
x2-6x+9= -1
x2-6x+10 = 0
としてもよい｡
「割り切れる」
(余り) = 0
