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Mathematics Senior High

(1)です。なぜn=3k +2までなんですか?

[1] (2 410 基本例題 113 余りによる整数の分類 nは整数とする。 次のことを証明せよ。 (1) n²+1は3で割り切れない。 (2) n²を4で割った余りは0または1である。 CHARTO SOLUTION nの式を自然数 m で割る問題 mで割った余りによってnを分類して考える・・・・・・! (1) 3で割るから, すべての整数nを3k, 3k+1, 3k+2 (kは整数)の形で表し て, n2+1を3で割った余りを求める。 解答 kを整数とする。 口 (1) [1] n=3k のとき 口 [2] n=3k+1 のとき (2) 4で割るから, すべての整数nを4k, 4k+1,4k+2, 4k+3(kは整数)の 形で表して, n²を4で割った余りを求める。 n²+1=(3k+1)²+1=9k² +6k+2=3(3k²+2k)+2 口 [3] n=3k+2 のとき n²+1=(3k)2+1=3・3k²+1 n²+1=(3k+2)²+1=9k²+12k+5=3(3k²+4k+1)+2 よって, n²+1を3で割った余りは1または2であるから, n²+1は3で割り切れない。 口 (2) [1] =4k のとき 口 [2] n=4k+1 のとき 1 [3] n=4k+2 のとき n²=(4k+1)^=16k²+8k+1=4(4k²+2k)+1 n²=(4k)2=4.4k² ① [4] n=4k+3 のとき jp.407 基本事項③ n²=(4k+2)=16k²+16k+4=4(4k²+4k+1) n²=(4k+3)^=16k²+24k+9=4(4k²+6k+2)+1 よって²を4で割った余りは0または1である。 [別解] [1] n=2k のとき n²=(2k)2=4•k2² [2] n=2k+1 のとき ズーム UP 基本例題 113に n²=(2k+1)^=4k²+4k+1=4(k+k)+1 よって,n²を4で割った余りは0または1である。 nを3で割った余りが 1,2の場合に分け nを4で割った余りが 1,2,3の各場合に inf (2)の別解はnを! 割った余りで分類した。 本問ではこの方法で証明で きたが、いつもうまくいく とは限らない。 4で割ると きの余りについての問題で は,4で割った余りによっ して分類するのが原則であ る。 PRACTICE・・・・ 113② nは整数とする。 次のことを証明せよ。 (1) 2²n+1は3で割り切れない。 (2) が5で割り切れないとき, n²を5で割った余りは1または4である。 SII 3で 整数を はn= なお, とい 3k, 3k 3k 特 別

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この問題ってなんで判別式が0以上なんですか

4組 17番 休:46 技: 40 家:- 80 S 本 例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2) xについての2次方程式x (a-1)x+a+6=0 が次のような解をもつ な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2) 1つの解は2より大きく, 他の解は2より小さい。 ブルンジ プションプラ ~45 技46 家 : 40 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数kの大小 α-k, β-k の符号から考える (1) 2以上と2を含むから、等号が入ることに注意する。 az2, B≥2 ⇒ (a-2)+(B-2)≥0, (a−2)(B-2) ≥0) (2) α<2<β またはB<2<a (a−2)(B-2)<0 解答 x-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし,判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=a²-6a-23 解と係数の関係により a+B=a-1, aß=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①,②,③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (a-2)+(B-2) ≥0 (a-2)(8-2)≥0 PRACTICE ①から a²-6a-23≥0 ゆえに ②から at β-40 よって a≧5.. 5 ③から aβ-2(a+β)+4≧0 ゆえに a+6−2(a-1)+4≧ 0 よって a≦12 ... ⑥ ④,⑤,⑥ の共通範囲を求めて 3+4√2 ≤a≤12 a≦3-4√2,3+4√2≦a ゆえに (2) α <2<β または β<2<αであるための条 件は (a-2)(8-2)<0 よって α+6−2(a-1)+4<0 103 ② p.76 基本事項 51 4 (a-1)-4≥0 3-4√2 これを解いて a>12 重要 例題 50 4x²+7xy-2y²-5 定数kの値を定め f(2) CHART & TH 2次式の因数分解 「x,yの1次式の積 されるということ (与式)=0 とおい inf. 2次関数 |f(x)=x²-(a-1) のグラフを利用する (1) D≧0, 2 (軸の位置) ¥2, ƒ(2) ≥0 と、与式は x 数がx,yの1次 きである。 それは AT [解 O (与式)=0 とお 4x2+(7y- の判別式をD1 D = (7y- 与式がxとy 解がyの1次 となることで 81y²-198y+ D2 5 3+4/2 このとき,D> 立っている。 (p.754 ME ==(- =81 (2) ƒ(2) <0 D2=0 とな (p.765 補足 参このとき, ①の解は x= すなわち ゆえに P RACT

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(2)の置き換えのところで、文字を変えてしまっても何故差し支えないのですか? ちなみに、赤く書き込んだところは気にしないでください

XOO 20 内積と不等式 要 例題 次の不等式を証明せよ。 |ã·6|≤lä||6| CHART OLUTION (2) là lời là tôi đã hỏi 不等式の証明 A≧0, B≧0 のとき AMBAB2....... (1) 内積の定義を利用するか, または成分を用いて証明する。 成分を用いて証明 するときは, la (a)2 を示す。 (2) まず、右側の不等式 la +6|≧|a|+|6| を証明する。 途中, (1) の結果が利用 できる部分がある。 左側の不等式7-166は、先に示した右側の不 等式を利用して示すとよい。 TERE |à.6|=|a|lb| (1) α = 0 または T=0 のとき,a6=0,la||5|=0であるから 060 のとき, a と のなす角を0とすると a6=|a|||cose, -1≦cos0≦1 |à·b|=|a|| 6 || cos 0|≤|ä||b| ゆえに よって, la la || | が成り立つ。 a=(a,b),b=(c,d) とすると危 ¯ (ſa||b|)²—\ã·¯³²=(a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)² =a²d2+bc²-2acbd=(ad-bc)2≧0 よって (² a-b≥0, |a|||≥0 THBAS |à·b|≤|a||6| (2) (1) ³5 (|a|+|6|) ² − |ã + b ² 360 =|a|+2|a||5|+|6-(+20万円) =2(a || b-a. b) ≥0 al+16D2 ゆえに lä|+|b|≥0, |ã+b|≥0 (345 là tôi là tôi ... ⑩において, a を att, 方を一言とすると p.352 基本事項」 |a+b-b|≤|a+b|+|-61 |a||a +6|+|6| (1) 条件 「ad または ①」の否定は 「ad かつ≠0」 365 cos |≦1 ◆ 等号が成り立つのは, a=① または = 0 また は a // 6 のとき。 inf. la-blabl là lời cả ở là lời と表すこともできる。 <la+b1² =(a+b)(a+b) (1) から 7 € 117263 à·b≤la·b|slab ■=16 1章 よって ゆえに |||||6 in | をベクトルの三角不等式ということがある。[S 0,05 Tal-16|≤|a+b|≤|a|+|b| PRACTICE・・・ 20③ 不等式 |3a +26|≦3|a|+2|6| を証明せよ。 3 ベクトルの内積

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