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虚安
iを虚数単位として、以下の設問に解答せよ.
(1) 虚数 α, β を係数にもつ2次方程式
z2+az+B=0
この
かね
が異なる虚数解 w, we をもつとする.このとき, 係数が実数であり, W1,
wz を解にもつ4次方程式
x² + az³ + b²² + cz+d=0
をつくる、α,β およびそれと共役な複素数α, B を用いてa, b, c, d を
表せ.
(2) 方程式
22+
1+(2-√3)i√3+i=0
(立命館大)
の解を求めよ.
一精講
解です。
(1) 4次方程式の係数は実数ですか
ら、虚数 w, wz が解ならW, Wも
解法のプロセス
(1) 実数係数の方程式
が解なら
も解
(2) (1)がなければ,z=p+gi(p, q は実数) と
おいて,与えられた方程式に代入しますが,ここ
では(1)の利用を考えます. まずは, (1) が使える条
件になっているかどうかを確かめます。
(2) (1) の利用を考える
(2+2)+(
解答
とおく。
(1) WW2 2次方程式 22+αz+β=0の解であるから,解と係数の関係より
ws+wz=-a, w1w2=B
・①
係数が実数の4次方程式z+az+bz+cz+d=0 において, 異なる虚数
W1, W2 が解ならば,共役複素数 wi, W2も解であり,①より, wi+W2 ( 虚数)
なので,wwでもある. したがって WW2,WW2のすべては異なるから
z+az+bz+cz+d
=(z-wi)(z-W2)(z-wi)(z-wz)
=(22_(w+wz)z+w1w2}{22(w1+wz)z+w1wz}
=(z+az+B)(22+az+B) ( ① )
=2+1+2+(aa+B+B)22+(aj+αB)z+BB
係数を比較して
因数定理
W1,W2を消去
