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基本 例題 50
XPY (=60°)の
PX, PY および円
以下、同様にして
円Oの半径
2)円Oの面積
基本 例題
49 図形と漸化式 (1)
領域の個数
00000
2本の直線がある。 次の場合、
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない, n
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1)どの2本の直線も平行でないとき。
(2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針 (1)場合について,図をかいて考えてみよう。
a2=4(図のD1~D) であるが,ここで直線 l を引くと, l3
は l, l2 と2点で交わり この2つの交点では3個の
線分または半直線に分けられ、領域は3個 (図のDs, De,
D) 増加する。
[類 滋賀大]]
n =3
1ℓg
Ds
D₁
D3
De
D,
D₂
D
143=7
よって
a3=az+3
同様に,n番目と(n+1)番目の関係に注目して考える。
解答
n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引く
と領域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行に
なるから (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が加わる。
(1) n本の直線で平面が an個の領域に分けられていると
する。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直
線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ,領域は
(n+1) 個だけ増加する。ゆえに an+1=an+n+1
また a=2
よって an+1-an=n+1
数列 {an} の階差数列の一般項はn+1であるから,
n≧2のとき an=2+2(k+1)=n'tn+2
n-1
k=1
2
これはn=1のときも成り立つ。
ゆえに,求める領域の個数は
n2+n+2
(n+1) 番目の直線はn
本の直線のどれとも平行
でないから,交点はn個。
n-1
n-1
◄Σ (k+1)= Σk+Σ
Ck+21
k=1
(1)円O
このとき
(2)等比数
【CHART
(1) 右の図
て
Or
答
Or
0
ZOnOn+
よって
rnt
ゆえに
また
よって
から
(2) Sn=
2'
(2)平行な直線のうちの1本をℓとすると,lを除く
k=1
=(n-1)n+n-1
an-1(1)の結果を利用。
(n-1) 本は (1) の条件を満たすから,この(n-1) 本の
直線で分けられる領域の個数は (1) から
更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以
外の直線と (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が
増える。 よって,求める領域の個数は
an-1+(n-1)=(n-1)2+(n-1)+2_
+(n-1)=-
n²+n
2
an-1 は (1) の annの
代わりに n-1 とおく。
Ale
Sit
50
直線メラ
に垂線
皿け同一の点で
更に、
