矢印の式変形教えて欲しいです

収束条件 または 1(-1<r n=Tとする 基本 例題 35 無限等比級数の収束、発散 基本 10 (1)次の無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 (ア) √3+3+√3+...... (イ) 4-2√3+3･･････ 00 n 2 n=1 無限級数 ( 13 ) sin " の和を求めよ。 nπ 2 [(2) 愛知工大] P.64 基本事項 1 無限等比級数 α-1=a+ar+are+.･････の収束条件は a=0 または |r|<1 指針 n=1 a [1] a=0, |r| <1のとき 収束して,和は 1-r [2] α=0 のとき 収束して,和は 0 (1) 公比が |r|<1, r|≧1のどちらであるかを,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束, 発散 公比 ±1が分かれ目 65 2章 (1)(ア) √3,公比はr=√ 解答 √3 =√3 で, |r|>1であるから, 発散する。 2√3 (イ)初項は4,公比はr=- で, r<1であるから, 収束する。 4 2 52 基本例題 33 和は じ方針で考えて 1-(- 4 √3 8 8(2-√√3) (初項) -=8(2-√3) 1 (公比) 2+√3 (2+√3)(2-√3) 2 (2) 自然数とすると n=2k-1のとき nπ <ます sin がどのよう 2 4 無限級数 0なら∞に発 0なら a, Altr 1) の等比数 ■項から第五 よって、数列{(1/3) 'sing 2 は の和は 3' 33 13, 0, -1, 0, 1, 0, 4.35 nπ sin- 2 n=2kのとき nπ 2 sin =sink=0 2 ==sin(kл-77) = == -coskπ=(-1)+1 な値をとるかを nが奇 数偶数の場合に分けて 調べる。 んが整数のとき 1 (kが偶数) COS kπ= -1 (kが奇数) =(-1)^ 35 37 (数学) 80 -r NT 2 1 となる。ゆえに、 2 (1/3) s sin- は初項 13,公比無限等比数列 1/3 1 33' Iでも学んだ 32 の無限等比級数であり,公比は|r|<1であるか 1 35' の和とみる。 では無限 を利用する。 ら収束する。 その和は 1 1 3 (初項) 3 1-( 10 1- ( 公比) 32 1+4 = 3+4=00 練習 (1) 次の無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 ② 35 (ア) 1- + 1 1 3 9 (イ) 2+2√2+4+･･････ 基本事項 極限の性質 (ウ)(3+√2)+(1-2√2)+(5-3√2)+……… 8 1 (2) 無限級数 COS- の和を求めよ。 n=07 nπ 2 p.80 EX 24、 h n-2 Th

広がる境界、狭まる境界、ずれる境界の上で起こるとや特徴を教えてください🙏

(2)でn≧2^m と勝手に決めていいいのですか？

重要 例題 45 無限級数Σ1/nが発散することの証明 0000 (1) すべての自然数nに対して, 2 1 k=1k 2 n M +1が成り立つことを証明せよ。 (2)無限級数1+ 1 1 + 2 1 ++ +...... 3 は発散することを証明せよ。 n 基本 34 重要 44 (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列{1} は0に収束するから、か.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項図② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2"/1/11 ここで,n→∞となる。 1) 解答 2章 k=1 k 2 n +1 ① とする。 1/8=1+1/2=1/3+1 [1] n=1のとき k=1k よって, ① は成り立つ。 [2]=m(mは自然数)のとき,① が成り立つと仮定すると11+1 このとき 2m+1 2m 2m+1 1 +-+ = k=1k k=1 k 1 + k=2" +1 k (+1) +2 +1 +2 +2 2m+1 2m+2 2m k=1 k 2 4 ④無限級数 +......+ 2m+1 =1+1+ + 1 1 .+......+ 2m+1 2m+2 >m+1+gans2mm/+1+1 2m+2m 12m+1=2m2=2"+2m 1 2+2+2 (2) 1 2m+k よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。(k=1,2, 2m-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) S=1/2" とすると,(1)から 2m Snm 1 +1 k=1 k 2 ここで,m→∞のときn→∞ で lim m(2+1)=x -1=8 limSn=∞ →∞ n→∞ 00 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) n=1 n 72100 1210 0=0nalexmil 無限級数1/nの収束・発散について 8 数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 2αは発散するが (p.61 基本事項 2②),こ n=1 =0であることから,このことが確認できる。 n 11は1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 検討 の逆は成立しない。 上の (2) において lim 00 練習 @ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数方 は発散することを示せ。 p.81 EX 32

青で引いたところをどうやって求めるのか分からないので教えてください🙏

A 62 次の無限級数は発散することを示せ。 ew- чr す n=1 12+22+32 + ··· + n² n3

無限等比数列の場合分けの問題です。 場合分けの仕方がわかりません。その後の計算はわかります。解答を見ると、毎回、〜の時の〜の部分が少し違くて、通常、どの範囲で、考えていく物や、考えていく順番など、教えてください

□ 42 次の極限を調べよ。 mn+1 (1) lim nnn+2 ただし,r0 (2) ②2 lim 2pm-1 ただし, rキー1

詳しく教えてください

*89 次の関数について, x→0のときの極限を調べよ。 (1)3x (2) ( x (3)2x

一番が0で二番が＋♾️に発散となるのですがどのように考えればこの答えにたどり着けますか？

【1-4】 an=3n-7,bn=n2+3n-1,Cn: 収束するなら値も求めよ。 = 10m2-3n+5,dn=n3のとき、次の極限が収束するか求 ( lim nx bp an 身 lim bn n→∞ an (3) lim bn n→∞ Cn (4) lim n→x dn bn

(1)と(2)の問題のsnを求める方法が分からないです。 どうやって、snを出しているのですか？教えてください😢

練習問題 11 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ (1) 1-1+2-2+3-3+4-4+... (2)1-1+1/-/12/+/-/1/+1/11/ 3 3 4 4 精講 直感に頼らず「部分和を計算し、その極限を調べる」という手続き を踏んでいきましょう。 解答無 以下,第n 部分和をSとすると 発散 (1) (S) 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, となる. この数列は発散するので,無限級数は n 発散する. 1234567 注意 より厳密に書けば, {S} の 「奇数項目だけを見た数列」は 第2章 1, 2, 3, 4, ･･となり正の無限大に発散し、 「偶数項目だけを見た数列」は 0 0 0 0 ･･となり0に収束します。 このような場合, 数列{Sn}の極限 としては発散です。 (2){Sm}:1,0, 1 1 0. 0, 0 2 3' 「奇数項目だけを見た数列」は 1 1 1 1. より, 0 に収束する. 2'3'4 9 また「偶数項目だけを見た数列」 も 0, 0, 0, 0, ... より, 0 に収束する. n よって, limS=0 であるから, 無限級数は 0. に収束 M 1 2 3 4 5 6 7 n

(2)の問題が分からないです。😢 自分でやったんですが、赤で囲ったように(1)と同様にしてるのにならないです。自分のやったやつでも正解ですか？ また、この問題ってrさえ分かってしまえば基本いいんですよね。

山の 練習問題 6 次の漸化式で表される数列 (cm) の極限lima を調べよ → (1) a1=1, an+1= 3+2 (2) a1=-2, an+1= 3 2an+5 精講pan+g型の漸化式の一般項の求め方は,数学Bの数 習しています。 付け加わるのは, 極限を計算する部分だけです。 (1) a₁ =1, an+17 = an+2 ・① 解答 る 32= 27=6 223 視 an x+2 am と Qst) を工におきかえたし次方程式 1/2を解くとエミリ ので, 今求めたのれん 3= --3+2 on であるが? ②より an+1-3= An 90=917 / 1-3=2 数列 (0-3) は、初項 α-3-2 公比の等比数列なので。 an-3=-2.1 1-1 n-1 an=3-21 -1</1/23 <1より, lim 718 n-1 3 ant1-3=3n+2-((3+3t2/) ant 3-4h 12-3-2 Ant1-32 an =0 であるから L lima,=3 (2) a1=-2, an+1= (1)と同様にすると 3 3 2 an+5 4n+1-2-1 (ax=2) 2 3 数列{an-2} は, 初項 α1-2=4,公比 の等比数列なので

(2)と(4)が理解できません😢 (2)は、等比数列の和の公式を使うと、➖2/3になってしまいます。 (4)は(√n−√n−1)がkに何を代入したら出てくるのか教えてください。

練習問題 7 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. (1) 1+3+5+... +(2n-1)+... 1 1 1 (2) 1- + +・・・+ 1 7-1 2 4 8 2 +... 1 1 1 (3) + + 1 1-2 2.3 3.4 1 n(n+1) +... n=1 √n+1+√n 精講 無限級数の計算では,まず 「第1項から第n項までの和」Sを計 算します。 このSnのことを,無限級数の (第n) 部分和といいます。 Smをどうやって求めるかは,数学Bの数列ですでに学んだ内容ですから, 「限級数で新たにつけ加わるのは, lim Sn を計算することだけです。 以下、第n部分をSとする. (1) S=1+3+5+…+ (2n-1) n18 解答 どこまで付く 初項1 末項 2n-1, 数等差数列 n{1+(2n-1)} 2 等差数列の和の公式 (項数){(初項)+(末項)} S=- =n2 limS=∞ より 無限級数は発散する. 2 n-1 1 1 1 2)/Sn=1 + + + 2' 2 項数nの等比数列 等比数列の和の公式 2 S= 23 limS= 1-(-1/2) {1-(-/1/1)} 2 3 1-r ココが 0 に収束する より, 無限級数は収束し、その和は 初項α 公比r, 項数nの等比数列の和Sは a(1-") 23