数Ⅰの例題151について質問です。 この問題を解いていくと、cが二通り出てきますね？ 二通り出たので、どちらかが正しくない可能性が出てきます。 なので、最後に一文付け加えるべきなんじゃないかと思いました。 [1]の最後に、「a<b<cのとき、A<B<Cとなるので正しい。」 ... Read More

236 まと め 基本 例題 151 三角形の解法 (2) 基本 148,149 AABC において, a=v2, b=2, A=30° のとき, C, B, CCを求めよ。 AAF まず,余弦定理でcを求めるか, 正弦定理でBを求める (別解)。 その際,それぞれ2通りの値が得られることに注意。 なお,団解では, 等式c=bcos.4+acosB_(下の 検討参照)を利用する。 決める これ てお 解答 使 次に、 正弦定理でBを求め, 左のようにしてcを求めて 余弦定理により (V2)°=22+c?-2-2ccos30° c-2/3c+2=0 c=V3 +1のとき よって C=V3 ±1 もよい。しかし、, この場合 辺と角の大小関係に注意があ 要である。前ページのズーム ゆえに 『[1] COs B= 2(V3 +1)/2 2/2(V3 +1) V2 UP 参照。 ゆえに B=45° 『 [2] c=\3 -1のとき よって C=180°ー(30°+45°)=105° 2 2 1 V2 よって C=180°ー(30°+135°)==15° COs B= 130/(B) A c=V3 -1 2(/3-1)./2 三 2,2(3-1) ゆえに B=135° 以上から c=V3 +1 c=V3 +1, B=45°, C=105° または c=V3-1, B=135°, C=15° (別解 [1] の参考図) 解 正弦定理から 2 a ゆえに sinB= /2 B=45°, 135° C=180°-(30°+45°)=D105° c=bcos A+acos B=2cos30°+V2 cos 45°%=/3+1 sin B A=30° より,0°<B<150° であるから sin 30° 30° 45? A cH C=AH+HB B [1] B=45° のとき =bcos A+acos B =2cos 30°+V2 cos 45° B=135° のときは [2] B=135° のとき C=180°-(30°+135°)=15° c=bcos A+ cos B=2cos 30°+V2 cos135。=V3-1 c=AH-BH =bcos A+acos B

数学、標準問題精講109です。 画像二枚目にある （ⅱ）と（ⅲ）の p=0のとき、D＞0ならば、f(x)=0は一つの実数解と二つの虚数解をもつとありますが、それはなぜですか？ （ⅰ）のときは（極大値）×（極小値）＞0であるから、一つの実数解と二つの虚数解を持つことがわかる... Read More

109 方程式への応用(2) 3次方程式 +3pz+q=0 (p, qは実数)において, D=4が+q° とす るとき,この方程式の解について,次のことを示せ。 [D<0 ならば,異なる3つの実数解をもつ。 D=0 ならば,解のすべては実数解であり,重解をもつ。 ID>0 ならば, 1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。 ©Di 3次方程式 +3px+q=0 の解は 3次関数 y=r°+3px+qのグラフ をかき, z軸との共有点の状態を調べればよく, 解法のプロセス 精講 3次方程式の解の状態 極値をもつときは 3次関数のグラフをかき, エ 軸との共有点を調べる 極値の符号 を調べることにより,x軸との共有点の状態がわ かります。したがって, 本間はまず 極値をもつかどうか で場合分けをします。 y'=3(z°+か) ですから, か20 のときは極値をもたないのですが,本間の Dに対して,か>0 のときは, D=4が+>0 と 定符号ですが,p=0 のときは D=q">0 となり, Dの符号が正であったり, 0だったりしますので, p=0 は別扱いとします。 かく0 のときは極値をもち,このときは, さら に(極大値)×(極小値)の符号で場合分けするこ とになります。 f(z)を計算 極値をもつかどうか, 極値の符号はどうか で場合分けする 解答 f(z)=°+3pr+qとおく. f(z)=3.z*+3p (i)か<0 のとき, f'(x)=0 は エ=±ノ-p を解に もつ。 YA 図1 ーカ V-P 0 0 ーV-p 0 f(x)|

答え合っていますか？

次の条件p, q について, かはgであるための必要条件である,十分 条件である,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない, のうち最も適切なものを答えよ。 (1)p:図形Fは正方形である。 q:図形Fは長方形である。 (2)p:自然数nは2の倍数である。q:自然数nは3の倍数である。 (3)p:整数 a, bの積は正である。g:整数 a, bは同符号である。 (4)p:整数 a, bの和は正である。 g:整数 a, bはともに正である。

(1)の「右辺が非負のとき〜」と「この左辺はa=-3,0の前後で符号変化し」のところがよく分かりません。 教えてください🙇‍♀️

関数f(x)=arー(α+3)エ+a+3について, 次の問いに答えよ.ただし, aは0でない実数とする. (1) f(z)の導関数をf'(z)とする. zの方程式f'(z)=0が実数解をもつようなaの範囲を求 め,またそのときの実数解をすべて求めよ。 (2) ェの方程式f(z)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ。 (宮城教大) f(a)f(B)の正負で解の個数がわかる f(a)f(B)が,正,0, 負のどれであるかによって,f(z)=0… ① の解の個数が分かる。 (i)f(α)f(B) <0 → f(a)とf(B)は異符号 【f(α)f(B)<0なら, α+B] (i)f(a)f(B)=0 → f(a)=0 またはf(B)=0 ()f(a)f(B)>0 → f(a)とf(B)は同符号 であることに注意すれば, (i)~()のグラフは, (f(z)の°の係数が正とする) 3次関数y=f(z)が, エ=a, Bで極値を持つとき, AAAhA となる.実数解の個数は, グラフとェ軸の共有点の個数なので, ①の実数解は, (i)のとき3個 (i)のとき2個 ()のとき1個 ■解答 (1) f(z)=3ar-(a+3)であり, a+0, f'()=0より, 左辺は,a>0のとき正なので, o 0>a>-3のときは負, -3>c のときは正となる。 a+3 a+3 22= 3a 右辺が非負のとき, (=±y)とおく。 3a x=土 a+3 N0. この左辺は, a=0, -3の前後で符号変化し, aミ-3, 0<a 3a -3 0

どこからこの式が出てきたのか教えてください。

例題 112 反転による軌跡 原点0を端点とする半直線上の2点 P(x, y), Q(X, Y) が OP·OQ=4 を満たしている。 (1) x, yをX,Yで表せ。 (2) 点Pが直線2.x+y=1 上を動くとき, 点Qの軌跡を求めよ。 点Pは半直線OQ上にあるから, OP: 0Q3t:1(t>0) とおける。 Y 3点0, P, Qは, 0<t<1 のとき, 0, P, Qの順に, t>1 の とき、0, Q. Pの順に並ぶ。 また,OP=x+y, 0Q=VX+Yy であり, xyキ0 のとき, *とX, yとYは同符号より, OP:0Q=x: X=y:Y である. 0 考え方 解答(1) 点Pは半直線 OQ上にあるから, OP: 0Q=t:1 (t>0)とおける。 OP=tOQ であり, OP=\x?+y?, 0Q=VX?+Y? より, OP-0Q=D10Q"=Dt(X°+Y) OP-0Q=4 より、 t(X+Y)=4 0でないから割れs, …… の これより,X+y?キ0 であるから , t=4y X?+Y? xyキ0 のとき,xとX, yとYは同符号より。 OP:0Q=x:X=y:Y=t:1(>0) 4X したがって,x=tX より, ①を代入して, x= X+Y? 同様にして、 y=tY=- 4Y X?+Y? x=0 のとき,X=0 より②に含まれ, y=0 のときも同様に③に含まれる よって、 4X *ミー 4Y +y, ソ=- 「X+Y? (2) 2x+y=1 に②, ③を代入すると, 4X X°+Y?TX+Y?=1 4Y 8X+4Y=X"+y? より、 ただし、X°+Y"キ0 より, X=Y=0 を除く. X°+Y"=0 となるのは, よって,点Qの軌跡は, 中心(4, 2),半径 2,5 の円 ただし, 原点を除く. (X-4)+(Y-2)?=D20 X=Y=0 のとき

kは実数とする。 2次方程式(k-5)x²+(k+3)x+k=0が異なる2つの実数解を持ち、それらが同符号であるとき、定数kの範囲の求め方を教えて欲しいです！

2番目から7番目まで解き方がわからないです。 わかる方といて欲しいです！

w Q 1S回 3の倍数の個数 kは実数とする。2次方程式(k-5)x?+(k+3)x+k=0 が異なる2つの実数解を持ち,それらが同符号 であるとき,定数kの範囲を求めなさい。 1辺の長さが13の正三角形ABCとその外接円がある。外接円の点Bを含まない弧CA上に,点Dを弦CDの長さ が7になるようにとるとき,次のものを求めなさい。 A (リ AABCの面積 - 2 線分ADの長さ 3 AACDの面積 Cと 13 S sinZACD 5 AADBと△CDBの面積比 6 △ADBの面積 線分BDの長さ B 13

数Ⅲ複素数平面です 写真の ｢2≦z+16/z が成り立つための条件はz>0 であり｣と言う条件はどこから出てきたのですか？ 誰かお願いします

定囲を複素す 57 重要 例題29 基本 不等式を満たす点の存在範囲(3) O000O るを0でない複素数とする。えが不等式2<z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 16 S10 を満たすとき,点zが存 2 父と同値であ 重要5 16 <10 と不等式で表されているから, z+ 指針> 2<z+ 16 表す領域と」 0) そこで,まず ●が実数 ←→ ●=● を適用して導かれる条件式に注目。… は実数である。 2 なお,z+ の式であるから,極形式を利用する方法も考えられる。 →例 1章 解答 4 りのとき は実数であるからa+-2 16 16 別解 z=r(cos0+isin0) (r>0, 0S0<2x) とすると 16 z+ 2 16 16 よって z+ ゆえにaパ+16z=z|zf+16z 16 え+ z =z+ の実部。 16 cosé よって ゆえに よって したがって [1] z=z のとき,zは実数である。 (2-2)(2f-16)=0 (z-2)(Iz|+4)(|a|-4)30 0=(2-2)9T-』2|(212) +-ino -11412-1 16 は実数であるから 1: (S) =|2|| るちケ ( ま0=OA8) 2+ または |z|>0から, 12|=-4は不適。 ス=2 2 APSBP 16 -=0 または sin0=0 2点A,B 二等分線お 分にある。 アー r 16 が成り立つための条件はz>0 であり,このとき すなわち r=4または0=0 または 0=π [1] r=4のとき 2<z+ (相加平均)2(相乗平均) により 2+型22,216 -8 16 2+ =8cos0 (等号はz=4のとき成り立つ。) 2 16 すなわち,2<z+ は常に成り立つ。 よって, 2<8cos0<10と -1Scos0S1から え>0のとき,z+ 16 <10を解くと, +16<10z から ーScos 0<1 3(4) [2] 0=0 のとき (2-2)(z-8)S0 したがって 2S2S8 ニ=r+ 2 [2] |2|=4 のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に r 16 10か (16 =2 2 よって、 2Sr+。 ある。22=4° であるから ら 2SrS8 16 ハ10から 2Sz+zS10 の左側 2Sz+ [3] 0=πのとき る 4 16 2+ <0 の外部 15 5 ス+2 2 ゆえに これは条件を満たさない。 以上から,左図の太線部分。 -4 0124 8 すなわち 1S(zの実部)5 [1], [2] から,点zの存在する範囲は, 右図の太線部分。 iを結ぶ線分上を動くとき、 2を0でない複素数とする。点z-→ 29 吉の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 が2点。 練習

（3）でいくつか質問があります。 ・aが存在するためには、①を満たすkが存在する、というのは合っていますか？ ・何の文字についての二次方程式を作るかは、求めたい文字（k)の逆の文字（x)について式を立てると考えたらいいですか？（逆の文字が出てほしくないため） ・軸についての... Read More

曲線 C:y=x°ー kx (kは実数) を考える.C上に点 A(a, a°- ka) (a+0) を 3 とる。次の間に答えよ。 (1) 点AにおけるCの接線を1,とする.ムとCのA以外の交点をBとする.B のx座標を求めよ。 (2) 点Bにおける Cの接線をlaとする. 1,と 。が直交するとき,aとえが満たす 条件を求めよ。 (3) 4とが直交する aが存在するようなkの値の範囲を求めよ. (09)

何故2xy=1になるのですか？

PR 339 2乗するとiになるような複素数 z=x+yi (x, yは実数)はちょうど2つ存在する。このz を求めよ。 2=(x+yi)=x°+2xyi+y°i"=(x°-y)+2xyi (x-y)+2xyi=i は実数であるから,x°-y?, 2xy も実数である。 -y=0 ……… ①, ,2xy=1 (x+y)(x-y)=0 コa+ bi の形に整理。 22=iのとき ロこの断り書きは重要。 口複素数の相等。 よって 2 のから ゆえに ソ=土x 日2より,xy>0 すな ちょとyが同符号であ ことに着目して、 [1 y=x のとき 2から 2x°=1 よって x=士- V2 メーのときy= ソ=ーx が適さないこ を判断してもよい。 ゆえに 2 V2 1 1 -。のとき y=ー- x= V2 [2] y=ーx のとき 2から -2x°=1 これを満たす実数xはない。 [1], [2] から 1 1 2 2 V2 V2 =2| としてもよい。