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よって か>1
83
基本
2次方程式 x*-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
例題50 2次方程式の解の存在範囲
p.81 基本
指針>2次方程式x-2px+p+2=0 の2つの解を a, Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0かつ B-1>0
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3とB-3が異符号
以上のように考えると,例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法(b.81 の解説)もある。これについては,解答副文の別解 参照。
2章
習
用
解答
下
2次方程式x?-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし,判別式 | 2次関数
をDとする。
S(x)=x"-2px+p+2の
グラフを利用する。
=(-か°-(b+2)=がーカー2=(カ+1)(かー2)
D
4
解と係数の関係から
(1) a>1, B>1であるための条件は
D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0
る
α+B=2p, aB=p+2
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2Sp<3
(p+1)(カ-2)20
の
D20から
ズーp y=f(x)
よって
pS-1, 2<p
(α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カ-2>0
3-e\a
成
よって
p>1
0
1
B
(α-1)(8-1)>0 すなわち aB-(α+B)+1>0 から
p+2-2か+1>0
よって
かく3……(3
2-
(2) f(3)=11-5p<0から
求めるpの値の範囲は, ①, ②,
③の共通範囲をとって
2Sp<3
2) a<Bとすると, α<3<Bであるための条件は
(α-3)(B-3)<0
-1
123 p
p>
4題意から、α=Bはありえ
ない。
0
すなわち
aB-3(α+B)+9<0
p+2-3-2p+9<0
ゆえに
0 01
5
2次方程式x-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数aの
練習
50 値の範囲を定めよ。
(1 2つの解がともに2より大きい。
(2) 2つの解がともに2より小さい。
(3) 1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。
主数
Cp.85 EX34
9解と係数の関係、解の存在範囲
