精講
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t2=pt+g の解をα βとして,次の2つの場合
ます.
anをしとして
an
2次方程式を解をの、とする
(I) αキβ のとき
an+2=(α+β)an+1 -aβam より
an+2-aan+1=β(an+1-aan)
・①
an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) ②
①より, 数列{an+1-aan} は, 初項 α2-aa1, 公比βの等比数列を表す
an+1-aan=β"-1 (azaar) ......、
同様に,②より,an+1-βan=an-1 (aβas) .......②
①-②'より,
(B-a)an=ẞ"-1 (a2-aa₁)-an-¹(a2-Ba₁)
ト
β-1 (a2-aal)-an-1 (a2-Bas)
. an=
(LBSTB-a
注 実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く. その場合は階
列の性質を利用します。 (本間がそうです)
(II) α = β のとき
an+2-aan+1=α(an+1-aan)
: an+1-aan=α-1 (a-aa)
つまり,数列{an+1-αam} は, 初項 α2-da, 公比αの等比数列.
(s)
1=2
an
a2-ad1
=
n+1
ani
a² &
③の両辺を α"+1でわって, an
An+1
n
n-
n≧2 のとき,
ak+1
k+1
ak
k
n-1
a2-aay
=
k=1 a
k=1
Q2
よって,
an
a
an as-(n-1).az-aa
=
=(n-1)・
.. an=(n-1)αn-2az-(n-2) an-1a1
