例 題 100 はさみうちの原理3 のさであ
次の極限値を求めよ、の大景き タェ x]
X imn2 2k-1)(2k+1))
226 第3章 数列の極限
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例題1
(東京理料)
a=1+
1
(2) lim(n
2れ
n→ 0
k=n R
1/1
(2) li
え方 (1 ーD24+)-(2-1- 24+1) と部分分数に分解する。
(2) k21 のとき, 0<(4R-1)<だくだ+k であるから、,
1
考え方 (1)
4
考え方(1)
くより、K(R+1)<声く(2k-1)(2k+1) が導かれる
+k 4°-1
2 1」
2n
三-1)2k+1)=(2ォ-1 2k+1)
|2k-1
解答(1)
k=n
(1
1|
4n-1 4n+1
解答
2n-1
2n+
1/"(2n+1 2n+3,
1/1
2n-1
よって、
1
4n+1
J
2n
n 2k-1)(2k+1))
n
= lim
カー 2(2n-1 4n+1/
lim
→ 0
k=n
エ -
= im
1
1/1
1
2
n
4+
n
(2) k21より、0<ー(4R°-1)<だくだ+k が成り立つから、
1
4
*+k 4-1,つまり,
n2
。R)くくー
<n意く
--点
k(R+1) (2k-1)(2k+!
2n
よって、
1
2n
…0
k=n
(2k-1)(2k+1)
21 1
k=n
ここで、
2n
lim{n
=lim{n
1
1→
k=n
k+1
n
1
→0
n
n+1
2n+!
n+2
2n
=lim n
→ 0
n
2n+1
また。-e
2n
、n
2
(1の結果を用いると、lim nこ 2k-1)(2k+1)
4
(2k-1)(2k+1)-4:n2
=(2々-1)(2k+1)
より,
1
よって、①, ②, ③とはさみうちの原理より,
4.
8
k=n
2
102
練習 次の極限値を求めよ
lim(n
k=n
n→0
100
22
3
