数学3 微分法の問題です。 a.bを実数とする。3次関数f(x)=-ax^3+3x^2+bがx=1で極値5をとるときのaとbの値。 曲線y=f(x)の変曲点のY座標 これらの解き方、解答を教えてください。よろしくお願いします。

（1）の一番最初で微分する意味ってありますか？ あと、（2）の一行目でf(x)ではなく、f'(x)となっているのはなぜですか？ 回答お願いします。

162 (1) 等式f(t)dt=x-3x²+x+αを満たす関数f(x)と定 数αの値を求めよ。 (2) 関数f(x)=f'(r2-t-2)dt の極値を求めよ。 解答 (1) 等式の両辺をxで微分すると f(x)=3x²-6x+1 また, 等式でx=α とおくと よって したがって a³-3a²+2a=0 a=0, 1, 2 (2) f'(x)=xS (12-1-2)dt=x-x−2=(x+1)(x-2) dx f'(x)=0 とすると また f(x)= f(x) の増減表は右のようになる。 よって, f(x)は 1² 3 2 x=-1で極大値 x=2で極小値 10 3 x=-1,2 7 0=a³-3a²+a+a すなわち - 2t をとる。 = XC 3 2 x - 2x + ... + a(a-1)(a-2)=0 A 13 6 -1 0 極大 10 3 2 0 極小 7 6 +1 d ■ *f(1)dt = f(x) ! - Sof(tidt=0 ←

（1）の一番最初で微分する意味ってありますか？ あと、（2）の一行目でf(x)ではなく、f'(x)となっているのはなぜですか？ 回答お願いします。

162 (1) 等式f(t)dt=x-3x2+x+αを満たす関数f(x)と定 数αの値を求めよ。 (2) 関数f(x)=(t-t-2) dt の極値を求めよ。 解答 (1) 等式の両辺をxで微分すると f(x)=3x²-6x+1 また, 等式でx=α とおくと よって したがって a³-3a²+2a=0 a=0, 1, 2 (②2) f'(x)=x(12- =xS (12-1-2)dt=x-x−2=(x+1)(x-2) dx. f'(x)=0 とすると また f(x)= f(x) の増減表は右のようになる。 よって, f(x)は f(x)=1/10/12/1 - 2t 3 x=-1で極大値 x=2で極小値 10 x=-1,2 3' - 0=a³-3a²+a+a すなわち 7 6 をとる。 xC 3 22 X' X f'(x) 2x+ *** + α(a-1)(a-2)=0 オ 13 6 -1 0 極大 10 3 - オ 2 20 極小 7 6 + df²f1dt=f(x), -Sisindi=0

増減表がこのようになるのと、四角で囲まれた式が何をして出たのかわからないです。

条件を ■条件を よ。 久留 練習 3次方程式x+3ax+3ax+a=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求め ③ 219 よ。 f(x)=x3+3ax2+3ax + α とする。 121.0 x HINT 3 次方程式 f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから、3次関 f(x)=x+3ax2+3ax+a° 数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。 とする。 f'(x)=0 の解 は求めることができない から,f'(x)=0 の解を α, f'(x)=3x2+6ax+3a=3(x2+2ax+a) f(x) が極値をもつから, 2次方程式 /'(x)=0 は異なる2つの β(α<B) として, 解と係 実数解をもつ。 数の関係を利用。 ゆえに、x2+2ax+α=0の判別式をDとすると D>0 ここで D=a²-1•a= a(a−1) 4 よって, a(a-1) > 0から <a a<01 ① このとき, x2+2ax+a=0の2つの解をα, B (a <B) とすると, f(x) の増減表は次のようになる。 XC a ² f'(x) + 0 (x) 極大 ゆえに f(a) f(B) <0 ここで, 解と係数の関係により よって B 0 + 極小 a+β=-2a, aβ=a また,f'(a)=f'(B)=0 を利用するために、f(x) を 1/12f'(x)で 割ると,商はx+α, 余りは2a (1-a)x+α² (a-1) であるから f(x)=(x+a)(x²+2ax+a)+2a(1-a)x+a²(a-1) _=(x+a)(x²+2ax+a)+a(a-1)(a-2x) ...... ƒ(a)ƒ(B)= a(a−1)(a-2a)xa(a-1)(a-2B) FUG =a^(a-1)'{a²-2 (a+β)a+4aß} =a²(a-1)^{a²-2 (-2a)・a+4・a} 4 =a²(a-1)²xa(5a+4) ①のとき, a2(a-1) >0であるから、∫(a)(p)<0より 4 a(5a+4) <0 ゆえに <a<0...... 2 5 ①,②の共通範囲を求めて 5 -<a<0 極大値 + a y=f(x) | x 極小値 ←x=αで極大値f(α), x=βで極小値f(B) を とる。 f(B) の次数を f(au), 下げるため。4 (5) ←f'(a)=f'(B)=0 から a²+2aa+a=0, B2+2aß+a=0 ←a+β=-2a, aβ=a HE 6章 練習 [微分法] 2 =

式を立ててみたのですが、計算を進めても文字が消えません

演習問題 91 3次関数 y=f(x)がx=1-v3とx=1+√3において極値をとり, 点(3,f(3))における y=f(x)のグラフの接線が直線y=4x-27 であるとき 次の問に答えよ. (1) f(x) を求めよ. メ (2) x≧0のとき, f(x) ≧3x²-14x が成立することを示せ. - Pu 92 次の各問に答えよ. 04 (1) 等式f(x)=_xf(t)dt+1 を満たす関数 f(x) を求めよ. 9 f(2) f(t)dt=x-3x2+4ax+3a を満たす関数 f(x) と定数。のは、やっと

青チャの例題です。 答えを求めることはできても仕組みがよくわかってない気がします。。 深く理解している方がいたら教えてください🙏 黄色の部分の式はどういう式なんでしょう。。 これは何を表していますか？ 【C上の点における接線】【指定された点を通る】という二つの条件を満た... Read More

342 00000 演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2) f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線C とする。点(u, b) を通る 線Cの接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、 条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。 指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。 ① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。 解答 f'(x)=3x2-1 であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t)) とすると、接線の方程式は y−(t³-t)=(3t²—1)(x−t) すなわち y=(3t2-1)x-2t3 この接線が点 (u, v) を通るとすると よって 2t3-3ut'+u+v=0 よって ②1 で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。 ③3 ② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, ひの式で表す。 ****** -u³+u+v<0 √2+v < 0 -u³+u+v>0 g(0)g(u) < 0 から (u+v)(-u³+u+v) <0 ②でu=0 とすると v<0 となり,これを満たす実数は存在 しない。 ゆえに,条件 u≠0は②に含まれるから, 求める条件 は ② である。 [u+v>0 ②から ひ または =(3t2-1) u-2t3 3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる。 ゆえに,点 (u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件 は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。 よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち, p.337 の例題 219 参照。 極大値と極小値が異符号となる。 g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから u=0 かつg(0)g(x)<0 [v>-u ひ<-u または \v<u³_u [v>u³_u したがって, 点 (u, v) の存在範囲は 右の図の斜線部分。 境界線を含まない。 √3 3 VA O 2√3 9 基本 219, 演習 223 2√3 9 3 ◄y-f(t)= f'(t)(x-t) 前ページの検討 参照。 g'(t)=0 とすると t=0, u u=0のとき, t=0,uの うち一方で極大 他方で 小となる。 |v=uuのとき v=3u²-1 v=0 とすると √3 3 u=± u=± √√3 のとき 3 v=F (複号同順 2√3 9 直線-uは曲線 原点Oにおける接続

＊問題の答えも付いてます 微分について なぜ=0か、≠0で場合分けをするのか？ この問題のように、=0か、≠0で場合分けをするのはどういう時なのか？があれば教えてください

*208 3次関数f(x)=x-ax2が0<x<1で極値をもたないための実数a [03 法政大] に関する条件を求めよ。

なぜ赤線部分は答えに含まないのですか？ 教えてください

29 関数f(x)=2x3-3px-12px+2p について,次の問いに答えよ。 ただし,は0でない実数とする。 (1) f(x) を微分せよ。 (I-"S)SI: (2) f'(x)=0 となるようなxの値をすべて求めよ。 (3)方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつようなかの値の範囲を求めよ。と all<ng dast 086I < (I-*S)SI BOTA 2< T 01 GS1='S 40=³S f'(x)=6(x-2p)(x+p) - 3+x+³x5+²x Jeas (18-81 = ((01 - 385) + S[] = (+1)=² (6) (1-"S) SI (1) f'(x)=6x2-6px-12p2 21 よって、 f'(x)=0 となるxの値は x=2p-p = (3) 3次方程式f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつことと, 3次関数f(x) の極大値と 極小値の積が負となることは同値である。 (2) より, f(x)はx=2p, pで極値をとるから f(2p) f(-p) <00+x+x+³x = (x)9 (−20p³+2p)(7p³+2p) <0 =(S-350= よって ゆえに p²(10 p²-1)(7 p²+2) >0 ここで、p≠0であるから よって 10p²-1>0 これを解くと - ゆくー √10 √10 10 10 E+8+D=8+1 •» + I · S+ I = ( [4 p²>0, 7p²+2>0−) » +³(S) · S +4(S)=(S-)9 2 H <p

この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

例題224 関数の最大・最小両端に文字を含む 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t sxst +1 における最大値 M(2) isasi+1k# を求めよ｡ Action 関数の最大・最小は、極値と端点での値を調べよ 場合に分ける。 文字が含まれている。 すのが大きくなるほど､ 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 ( 極大となる点を) 区間に含む (極大となる点を) 区間に含まない / ...1.... f(x)=3x-12x+9=3 (x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x = 1,3 よって, f(x) の増減表は次のように S' (x + 0 …..M(z)=(極大値) t= 3 0 -1 整理すると 3²-9t+4=0 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるもの値は e-6/°+9t-1=(1+1)-6(t+1)^2 +9(t+1)-1 P-68°+9t-1 = 836 +3 t= 区間の両端での の大小を考える/ 9±√33 6 グラフより, M(t) = f(t) = f(t+1) 9+√33 = -3/²+3 となるfの値は (ア) +1 < 1 すなわち <0のとき A(t)=f(t+1) It Itel 1+1 219 NAL ★★ 1141 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 9-4 のときは､ 最小値がf(r)=f(x+1) となるときである。 (イ) <1st+1 すなわち0<E このとき M(r)=f(1)=3 (2) 151 < 9+√33 M(L)=f(t) (x) 13 6 9+√33 (ア)~(エ)より のとき M() f(t+1) M(t)=3 224 のとき =-6² +91-1 =-3² +3 a= としてよい -3² +3 ³-61² +91-1 [ツキ OF T (t<0, (0 ≦t < 1 のとき) -1 (ISK 9+√33 st< 6 t+(t+1) 9+√33 1+1 1+1 のとき のとき Pointf(t)=f (t+1) となる点 例題224 では、関数f(x) に対して f(t)+1になるを求め K15x51+LE x1 が含まれるとき､ た。 f(x) が3次関数の場合、x=4で極値をとっても、 曲線 y=f(x) は直線 に関して対称ではないことに注意する。 [誤答例] f(t)=f(t+1) となるのは, x3 区間 tsxst+1の 中央にあるときであり ++ (+1) 2 める必要がないから、 = 3 すなわち t = 1 一方、f(x) が2次関数の場合, y=f(x) は放物線であり､軸がx=d である放物線は、その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, の中央にあるときであり 1 1 すなわち をとるのを求 けずに考える。 の場合を分 +1のときに最大 をとる とめる。 )の場合をま y=f(x) 非対称 VIV VIV. St+1 における最大値を求めよ。

この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

例題224 関数の最大・最小両端に文字を含む 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t sxst +1 における最大値 M(2) isasi+1k# を求めよ｡ Action 関数の最大・最小は、極値と端点での値を調べよ 場合に分ける。 文字が含まれている。 すのが大きくなるほど､ 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 ( 極大となる点を) 区間に含む (極大となる点を) 区間に含まない / ...1.... f(x)=3x-12x+9=3 (x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x = 1,3 よって, f(x) の増減表は次のように J'(x) + 0 …..M(z)=(極大値) t= 3 0 -1 整理すると 3²-9t+4=0 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるもの値は e-6/°+9t-1=(1+1)-6(t+1)^2 +9(t+1)-1 P-68°+9t-1 = 836 +3 t= 区間の両端での の大小を考える/ 9±√33 6 グラフより, M(t) = f(t) = f(t+1) 9+√33 = -3/²+3 となるfの値は (ア) +1 < 1 すなわち <0のとき A(t)=f(t+1) It Itel 1+1 219 NAL ★★ 1141 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 9-4 のときは､ 最小値がf(r)=f(x+1) となるときである。 (イ) <1st+1 すなわち0<E このとき M(r)=f(1)=3 (2) 151 < 9+√33 M(L)=f(t) (x) 13 6 9+√33 (ア)~(エ)より のとき M() f(t+1) M(t)=3 224 のとき =-6² +91-1 a= としてよい =-3² +3 -3² +3 ³-61² +91-1 [ツキ OF t+(t+1) T (t<0, (0 ≦t < 1 のとき) -1 (ISK 9+√33 st< 6 9+√33 1+1 1+1 のとき のとき K15x51+LE x1 が含まれるとき､ Pointf(t)=f (t+1) となる点 例題224 では、関数 f(x) に対して f(t)+1になるを求め た。 f(x) が3次関数の場合、x=4で極値をとっても、 曲線 y=f(x) は直線 に関して対称ではないことに注意する。 [誤答例] f(t)=f(t+1) となるのは, x3 区間 tsxst+1の 中央にあるときであり ++ (+1) 2 = 3 すなわち t = 1 一方、f(x) が2次関数の場合, y=f(x) は放物線であり､軸がx=d である放物線は、その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, の中央にあるときであり 1 1 すなわち める必要がないから、 をとるのを求 けずに考える。 の場合を分 +1のときに最大 をとる とめる。 )の場合をま y=f(x) 非対称 VIV VIV. St+1 における最大値を求めよ。