この問題のX'＝0のときはx軸に平行になると思うのですが何故等号が入っているのでしょうか。 常に増加しないきがします。

。 の 固 よって X'(t) = 1 - - Y' (t) = 1 / y= となり,1= rt √(1+t) 3 √(1+12) 3 t r√√1+t² =rt.. √(1+t) 3 t (X' (1), Y' (t)) = (1-√ (172²) 3° 7 rt 1 が常に成り立てばよい。 201 √I+ť² t √1 + f² (v1+f°) 2 -≥r ······1 とおくと rt √(1+1°) 3 トル (1.2-) と平行なベクトルになる。→さ X (t)が区間t>0 で常に増加するためには,t>0で常にX'(t) であ ればよい。 すなわち、t>0で 1 r √(1 +8²) ³ より,t>0 における関数y= NULAN r √(1+t2) 3, (1F rt (1-√0 √ (1 + t²) ³ ' 12/11 当会館 2.2m/1+F.t-√(1+r) • 100 G y'= rt √(1+t2) 3 のときは零ベクトル, 1≠ rt √ (1 + t²) ³ のときはベク 3 ·· 2t√/1 + t² • t -√√√(1 + t²) ³·1₁2 (02s √1+t² (2t²-1) 1² 7²3 MI A /(1+p2) 3 t になる。したがって, ① が常に成り立つためのの値の範囲は の増減および極値は次の表のよう NATURE1

(3)は答えは2枚目で自分の書いた解答は3枚目なんですけどこれでもやり方合ってますか？字汚くてすみません💦

演習 2･1 関数f(x)= 1+ logx 2 lim- X→∞ XC (x>0) について,次の問に答えよ.ただし,必要ならば 10gx0 を用いてもよい。 (1) f(x) の導関数f'(x) および,第2次導関数f(x) を求めよ. どちら (2) y=f(x) の増減, 極値, 凹凸を調べて, そのグラフの概形をかけ. (3) 1<a<bのとき,0<f(a)−f(b)<b-αが成り立つことを示せ。 .0<B+(1+gol )d -d gold A JARO..

漸近線を求める時にtで置き換えるのはy=の式に∞を代入しても不定形になるからという解釈であってますか？

79 微分法のグラフへの応用 (ⅢII) y= t ラフの概形をかけ, ただし, lim -=0 を用いてよい。 精講 y' = log.x JC t 78 と全く同じ問題形式をしていますが、 ただし書き 「lim- et=010) 部分に異和感を感じませんか? これが,漸近線を求めるために与えてあることは想像できるでしょう.しか し, 与えられた関数は対数ですからこのままでは使えません. 解 IC (x>0)の増減,極値,凹凸, 変曲点, 漸近線を調べて、ケ ·x-logx1 22 1 XIC ・x2- (1-10gx) ・2x 1-logx 22 3 極大値 12,変曲点(ev, IC よって, 増減, 凹凸は右表のようになる ので ここで, lim x→+0 IC =lim 3 lim 218 IC X軸も漸近線 よって, グラフは右図 . 3 2e2 答 定義域と40 y'=0 より x=e 10gx∞ (注1) 3+210gx そして,xのとき t→∞ であるから log x x=0で沸線で言えて ゆえに,y軸が漸近線 タテ型漸近線 P141 t=logx とおくと, et=elog=π (注2) logr IC -=0 となり y=0で漸近線 IC 0 y' y" y ヨコ型で考える P141 y"=0 より x=l2z + T ↑ e 0 T e y 3 2e I 2 e2 0 3 3 2ez y= JA + 40 log.x XC e² 注1 lir 注

y=x^2+6xとy=2x^3-9x^2+12xの極値の求め方教えてください

求める条件のx=0を解にもつというのは、なぜ求める条件に入っているのですか？

326 重要 例題 210 4 次関数が極大値をもたない条件 関数f(x)=x^- 8x3+ 18kx" が極大値をもたないとき, 定数の値の範囲を求め [福島大] よ。 指針 4 次関数f(x)がx=pで極大値をもつ x=カの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから、 f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考 える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。 解答 f'(x)=4x²-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の 前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0 [1] 重解または虚数解をもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D tala または x2-6x+9k=0 x=0 =(-3)²-9k=9(1-k) であるから 1-k≦0 極 (土) [2]x=0を解にもつ D よって k≧1 [2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると したがって PES k=0,k≧1 (日) a B Y ① 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解 (a <B<y とする) a=β<y, a<β=y a=By ww 極 極 a B=y x p f'(x) + 0 極大 f(x) k≥1 k=0 10)8-89-18 A=8+b k=0=8-³(80) (8 α ③ 1つの実数解と YA k> O (+1 ) =(ニュー(デ [参考] [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [4次の係数は正] に対し,f'(x)=0 は3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、 他の2つの解が実 数であれば β, y とする。 この解は次の4つの場合がある ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が A= (0-1)A 20087 18-0 逆になり, 極大と極小が入れ替わる)。 α 基本 203207 0 異なる2つの虚数解 W |極 極 小 3 YASET |k=1 x /6x 極 小 練習 f(x)=x^+4x3+ax² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 4 210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 Cp.327 EX137 Ⓡ13 ② 13 ③1 E

3次関数の問題です。 解く方法が分かりません。教えてください。

102 Check Box 解答は別冊 p. 164 関数 y=x+2kx²-8kx+6が極値をもたないようなんの範囲を求めよ。 ( 東京電機大 )

y=0の時の座標が書いてあるものと書いていないものがあるのですが、書いていても書いていなくてもいいのですか？

318 基本例題 203 4 次関数の極値, グラフ 次の関数の極値を求め, そのグラフの概形をかけ。 X(1) y=3x-16x3+18x²+5 重要 210 指針 1次関数であっても,0.316,317 で学習した3次関数の極値やグラフと同じ方針で進める。 よって,次の手順による。 ① y' を求め,まず, y = 0 となるxの値を求める。 ②y''の符号の変化を調べる (増減表を作る)。 ③3 作成した増減表をもとにしてグラフをかく。 CHART 関数の極値･グラフの符号の変化を調べて,増減表を作る 解答 (1) y'=12x-48x2+36x =12x(x2-4x+3) =12x(x-1)(x-3) y'=0 とすると x=0, 1,3 yの増減表は次のようになる。 x y' y よって 20 1 0 + 0 極小 5 よって をとる。 |極大| 10 極小 -22 車=4x(x-3) y=0 とすると x=0,3 yの増減表は次のようになる。 L₁_x y' y 3 0 + 0 3 0 + 20 + 極小 -11| 16 Q(2) y=x^-8x3+18x²-11 基本 201202 ... ... 134 x=0で極小値5, x=1で極大値10, x=3で極小値-22 15 -22 をとる。 また, グラフは右上の図のようになる。 (2) y'′=4x-24x2+36x=4x(x2-6x+9) 10 1 43 16 /1 x=0で極小値-11 また, グラフは右上の図のようになる。 3 注意 (2) x=3のとき極値はとらない。 なお, 前ページの例題 202 (2) 同様,グラフ上のx座標が3である点における接線の 傾きは0である。 z=y=12x(x-1)(x-3)の グラフ UZA 練習 次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 [ 203 (1) y=x8x2+7 (2) y=x^-4x+1 0 el 01 (SAT 124 0 0 2か所で極小となる。 3 0 + z=y'=4x(x-3)2のグラフ V + 3 x 極小値のみをとる。 x (1) SUS Op.327 EX132(1), (2) a 基本例題 指 y= ①パラてよ (1 y= ラ 練 ②② 21

やり方を教えてください🙇‍♀️

2 以下の問いに答えよ. (1) 漸近展開 を用いて, 等式 1 tan x = x + = x³ +0(x³) (x→0) tan²x = g(x) + o(x¹) (x→0) 1 1 をみたすような多項式 g(x) を求めよ. また, 極限 lim x-0 x² tan2x (2) x=0の近くで定義される関数 g(x) の漸近展開が g(x) = 2022 +8x+5x² + o(x²) (x → 0) であるとき、関数f(x)=(1-cos㎥2) g(x)がx=0で極値をとるかどうかを調べよ. ただし、必要ならば漸近展開 cosx=1-x2/2+o(x2) (x→0) を用いてよい. を求めよ.

線を引いたところが分かりません！上の式からどのように求めるのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

0 例題3 _THE 方程式x3x2+2-a=0の異なる実数解の個数は,定数aの値が, I 18 オ個 カ個 a< " アイ a= =アイ アイ <a< である。 <αのとき のとき, のとき 鉄則 3 文字定数を分けて,両辺をそれぞれ関数と見てグラフを考える 方程式f(x)=αの実数解の個数は, 曲線 y=f(x) と直線y=αの共有点 の個数と等しくなることを利用する。 直線y=ax軸に平行な直線で,αの値により上下に動く。 曲線y=f(x)は固定されるので, グラフ上で、 直線y=αを動かしながら, 共有点の個数を調べていけばよい。 解答解説 3x+2a = 0 を変形すると, x-3x2+2=a ここで, f(x)=x-32+2 とおくと, y=f(x)のグラフと直 線y=aの共有点の個数が求める実数解の個数と一致する。 AA 例題2より, y=f(x)のグラフは右 の図のようになる。 YA ly=f(x) a>2 a=2 y=f(x)のグラフと直線y=α の共 有点の個数を調べると, 方程式の 実数解の個数は,次のようになる。 a<-2, 2 <a のとき, 1個 a=-2, 2 のとき, 2個 -2 <a<2のとき, 3個 O y=a 2 x Wty 21.4 -2<a<2 a=-2 a<-2 アイ、ウ、エ、 オカの (答) 17 B B 放物線と x軸の共有点 の個数 と考えたのと同じ。 2次方程式 の実数解 の個数 THE 文字定数を分けて,両辺を 鉄則 それぞれ関数と見てグラフ を考える 方程式の右辺にαを移項し,左辺の 32 +2と右辺のα を関数と見て, 曲線 y=x-3x² +2と直線y=αの共 有点の個数を調べる。 y=f(x) は例題2の関数と同じだ｡ そこ で、このグラフを利用して, 直線y=a を平行移動させて、 共有点の個数を調べ る。 実数解の個数によって、αの値や値の範 囲はまとめて書こう。 step1 はここまで! THE 鉄則を使って問題を解いてみよ

(2)の解説のところに印をつけている場所がわかりません。

106 IN SIF 116 接線 曲線外の点を通る接線と本数 (1) 点(0,-12) から曲線y=x+4に引いた接線の方程式を求めよ。 X 〈青山学院大〉 NEED (2)(2,α)を通って, 曲線 y=xに3本の接線が引けるようなa <大阪教育大 〉 <大学の値の範囲を求めよ。 解 (1) 接点を(t, ピ+4) とおくと,エピ (3)接点がわからないから接点 を (t, f(t)) とおく。 y'= 3² だから接線の方程式は (n−x)(n) y−(t³+4)=3t²(x−t) FORL y=3tx-2t+4 -12=-2t+4 実数だから t=2 (2) 接点を (t, t) とおくと 動y' =3.2 だから接線の方程式は y-t³-3t²(x-t) 5 点(0, -12) を通るからして, y'=3t の比較 .. (t-2)(t²+2t+4)=0PS) SE 傾きはy' にx=tを代入 アドバ y=12x-12 よって, JEREM [==I ◆傾きはy'=3x2 にx=t を代入して,y'=3t2 I-x8=y y=3t2x2t3 点 (2, a) を通るから a=6t2-2t3 .. 2t³-6t²+a=0 これが異なる3つの実数解をもてばよいから **** f(t)=2t³-6t² +a LT, f'(t)=6t(t−2) √²)(1)\=w**• f(t) は t=0, 2で極値をもつので tの実数解の個数だけ接点 があり接線が引ける。 f(0) f(2)=a(a−8) < 0 より 0<a<83次方程式が異なる3つの BUZ ソン販売 実数解をもつ条件 (122参照)