（2）の問題の解き方が解答を読んでも分かりません。 教えてください！

OOOO0 重要例題58 剰余の定理の利用 (3) (1)f(x)=x°-ax+b が (x-1)? で割り切れるとき,定数a, bの値を求 めよ。 (2) nを2以上の整数とするとき, x"-1 を(x-1)?で割ったときの余り を求めよ。 【学習院大) 基本 54 CHART O OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 次数に注目 22 余りには剰余の定理 1 f(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°=1 である。 a"-b"=(a-b)(α"-1+a"-?b+a-36+ +ab”-2+6"-1) (1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)°Q 解答 f(1)=0 10 -a a-1 1 (1) f(x)は x-1 で割り切れるから ゆえに 1 ーa+1 6=a-1…① よって 1-a+b=0 天 11 ーa+1 0。 f(x)=x°-ax+a-1 =(x-1)(x°+x+1-a) g(1)=0 したがって )-3-3-3 ←条件から, g(x) もx-1 g(x)=x°+x+1-aとすると ゆえに で割り切れる。 よって 3-a=0 a=3 これをOに代入して (2)x"-1 を2次式(x-1)? で割ったときの商をQ(x), 余り を ax+b とすると, 次の等式が成り立つ。 b=2 x"-1=(x-1)°Q(x)+ax+6 合割り算の基本公式 両辺にx=1 を代入すると A=BQ+R 0=a+b よって b=-a ゆえに x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+a} x"-1=(x-1)(x"ー1+x"-2+… +x+1) であるから ← (x-1)°Q(x)+a(x-1) 両辺に x=1 を代入すると 合1=x° であるから, 左辺 の項数はx°から x"-1 ま よって a=n ゆえに したがって, 求める余りは b=-a=-n nx-n での n個 PRACTICE …58

黄チャートの参考の所で、x=2、y=3を利用する解き方で解きたいです。 すると答えが合いませんでした。 どこで間違えたのでしょうか。 分かる方、教えてください🙏🏼

基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用 12 で割ると1余り,7で割ると4余る3桁の目然数のうち最大の数を そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め,それから題意の自然数を 00 条件を満たす自然数は, 整数x, y を用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 基本122 CHART OSOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+6y=c の形に変形 …の 求める。 解答) 求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう に表される。 e 合aをもで割った商をg | 余りをrとすると n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 a=bq+r 『すなわち 12.x-7y=3 *=3, y=5は、12x-7y=1 の整数解の1つであるから」>台 まず, ① の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 12·3-7-5=1 S の整数解を求める。 両辺に3を掛けると 12-9-7-15=3 12(x-9)-7(y-15)=0 12(x-9)=7(y-15) 12 と7は互いに素であるから,③ を満たす整数xは x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数) の-2 から すなわち …3 nを求めるためには x, yの一方が求まれば よい。 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす kが最大のときであり,その値は このとき 参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか *84k+109999 から k=10 999-109 n=84·10+109=949 k< 84 =10.5… ら3を導いて解いた。 大 しかし,例えば x=2, y=3 が①の整数解の1つであ 12-2-7-3=3 と0から 12(x-2)-7(y-3)=0 ることに気がつけば,これを用いて解いてもよい。 本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数 解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も ある。

4n+9と3n+8の最大公約数とn+1と5の最大公約数が等しくなる理由がわかりません。教えて頂きたいです。

例題 71 4n+9と 3n+8の最大公約数が5になるような50 以下の自然数n をすべて求めよ。ただし, 次のことを用いてよい。 等式 a=bq+rを満たす自然数 a, b, q, rについて, aとbの 最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。 4n+9=(3n+8)·1+n+1, 3n+8=(n+1)-3+5 よって,4n+9 と 3n+8の最大公約数はn+1と5の最大公約数に等しい。 ゆえに,n+1 は5の倍数である。 また,2<n+1<51 であるから n+1=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 したがって n=4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 「答 2つの自然数 A,Bの最大公約数を(A, B) で表すと (4n+9, 3n+8)=(3n+8, n+1)3 (n+1, 5)

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

(2)なのですが、7nと3n+1が互いに素であるとき、n-2と7も互いに素になるのですか。

こなるような50 以下の自然数 が互いに素になるような 100 以 下の自然数は全で 7n と また,nは50 以下の自然数より、 いくつあるか、 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と n-4と13の最大公約数が13となるのは,n-4 ユークリッドの互除法を文字式について利用する。 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 = b+r の形の役 を、 が定数のみに なるまで続ける。 13の最大公約数に等しい。 が13の倍数のときである。 1Sn550 したがって、 -3Sn-4<46 50 以下の自然数とい う条件から、n-4の 値の範囲を定める。 よっ この範囲において,13の倍数n-4は、 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より、 n=4, 17, 30, 43 第 238. (2) 7n=(3n+1)×2+n-2 3n+1=(n-2)×3+7 - 7nと3n+1が知いに素であるとき、n-2とてもなるまで続ける。 互いに素である。 したがって,求める個数は, n-2と7が互いに素 であるような100 以下の自然数nの個数に等しい、 nは 100 以下の自然数より, a=bq+r の形の変 を、rが定数項のみ こ 1a TO7 1Sn<100 10+25 したがって, 233-10 -1Sn-2<98-2)+ ここで この範囲において, n-2が7の倍数となるのは、 7×14 これを①n-2=7×0, 7×1, 7×2, ……, の より, 15個- 100-15=85(個) よって,求める個数は, すなわち

カッコ1の問題で、解答の意味が分かりません。 教えてください

SOOO00 504 基本 例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数 m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一。 ることを示せ。 (2) 7n+4 と 8n+5が互いに素になるような 100 以下の目然数nは全部でい。 つあるか。 p.501 基本事項] laとbの最大公約数 指針> 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項1 (*)で示した, 右の定理を利用して, 数を小さくし ていくと考えやすい。 本間のように,整式が出てくるときは, まず, 2つの 式の関係を a=bq+rの形に表す。 次に,式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 a=bq+r 等しい 50 bとrの最大公約数 解答 2数A, Bの最大公約数を (A,B) で表す。 口(1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n, o 2m+3n=(m+n)·2+n, (差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n=n·1+m (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) = (m+n, n)=(n, m) したがって, m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 よって m+n-n=m e 大公約数は一致する。

数学II　剰余の定理の基礎問題（チャート）なのですが、緑色のラインで引いた部分て (x+1)(x+2)と解説にはありますが(x-1)(x-2)ではダメなのでしょうか

88 本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (近畿大) とき, P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。 [類慶応大) とき, P(x) をx+3x+2で割った余りを求めよ。 基本 52)(重要55 P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか。 い。 このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 特に, 余り Rの次数が割る式Bの次数より低い ことが重要なポイント ! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から, この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となる rの値 (これを● とする)を考えて, P(●)の値を利用する。 基本等式 A=DBQ+R [] R の次数に注意 2] B=0を考える CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x) をx?_3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 42次式で割った余りは, 1次式または定数。 7 条件から 9+XD+(x)○(7-) (1)3 (x)d 剰余の定理。また, ⑦の AB=(x-1)(xー2) P(1)=5 ゆえに ① 9=9+D 両辺にx=1 を代入する P(2)=7 ゆえに L=9+D ①, ② を連立して解くと よって, 求める余りは (2) P(x) をx?2土3x+2 すなわち(x+1)(x+2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 a=2, b=3 マ 9+D=(1)d 2.x+3 ▲2次式で割った余りは 1次式または定数。 AB=(x+1)(x+2) Aa, bの値を決定するため には, P(-1), P(-2)が必 要。そこで, ①, ② にそれ ぞれx=-1, x=-2を代 入する。 17 また, P(x) を x?-1, x?-4すなわち(x+1)(x--1), (x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQ(x), Q:(x) と P(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+4x-3 … ① P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 すると これと⑦から -a+b=-7 ①から ②から P(-2)=-1 ③, ④ を連立して解くと これと③から -2a+b=-1 4 a=-6, b=-13 求める余りは ー6x-13 (1) 整式 P(x) をx+2 で割った余りが3, x-3で割った余りが1のとき 53 をxーxー6で割った余りを求めよ。 (し) 東敗 D

途中式のどこが違うかわからないです。 教えてください🙇‍♀️黄色チャートです。

He)nntiXn-4) = h(ntiXMt2)-6) 2nnt)nt2)- 6n(nt) 続するろつの整数12の倍数 かつ3の値数なので、 hlntl\nt2)は6の特数。 また-6n(nt)も6の倍数なので、nntsn-4)は6の倍数である。 2自然教をれとすると、カ=118+9. N-54t2 (以.4は整敬) 11火t9:5412→118-54-クの 火=-2 4=-3が1つの整数解? 1162)-5(-3) =ーク② の-Q 118-5ーク つ111-2)-5(3)= -7 111火t2)-51税0 1842)- 5(413) 1145は互いに素であるから、 火+2-5k→ メニ5k-2、 43=11k→4=11k-3 n:11X495 火= 5k-2を代入 n-/1(水-2)+9 = 55kー13 → 11842)= 5(4ィ3) (Kは整数)

線を引いたところの意味がわかりません… 説明お願いします😭

1 5n+6と 3n+1の最大公約数が13になるような50以下の自然数 文字式の互除法 (「 の 252 nをすべて求めよ。 いくつあるか、 カが a 5n+6=(3n+1)×1+2n+5 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と 13の最大公約数に等しい,? n-4と13の最大公約数が13となるのは, n-4 が13の倍数のときである。 また,nは50 以下の自然数より, a=bq+r の形の変形 を,rが定数項のみに なるまで続ける. 0 IS-v50 以下の自然数とい 1SnS50 う条件から, n-4の したがって, -3<n-4<46 この範囲において,13 の倍数n-4は, 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より, n=4, 17, 30, 43 ( x サ チ-8 値の範囲を定める。 et+01x-ra()