指針>文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題 211 と同じ要領で, 極値と区間の端
基本例題213 係数に文字を含む3次関数の最大·最小
を正の定数とする。3次関数f(x)=x°-2ax°+a'xの0<x<1 における最大
での関数の値を比べて最大値を決定する。
331
その高
3
参馬大)
値M(a)を求めよ。
【類立命館大)
211
基本211
重要214」
める。
a
る(原点を通る)。ここで, x=;以外にF(x)=f($)を満たす
a
で表
3
6章
x(これをαとする)がある ことに注意が必要。
0
37
三使
よって,,a(
食分けを行う。
<e)が区間0<x1に含まれるかどうかで場
3
a
a a x
3
TAH
解答
f(x)=3x°-4ax+a
=(3x-a)(x-a)
f(x)=0 とすると
a>0であるから,f(x) の増減表 f(x)
は右のようになる。
f(x)=x(x°-2axta)
ーx(x-a)から
a
x
a
3
a
x=
a
27
f(x) +
極大
a
0
0
極小
、D
0 a-2a+1
[1] y4
27
イト、
最大
x=ー以外に (x)=,
4
を満たすxの値を求めると
ここで,
11
4
{(x)=;から
4
x°-2ax°+a'xーパ=0
0
1a
3
a
27
さ体さす
のえに (xー)(αーきのー0
4
a=
3
a
xキ
3
a
であるから
[2] YA
x=
ゆえに
a
3
3
トーム
最大
4
273
したがって, f(x)の0<x<1における最大値 M(a)は
『[1] 1<-すなわち a>3のとき
M(a)=f(1)
0
x
4
1a
a
3
3
12] 51saすなわち
12] -15-aすなわち -sas3のとき M(a)=/
4
[3] Y4
最大
3
M(a)=f(1)
『13] 0<-a<1 すなわち 0<a<-のとき
a-2a+1
以上から
0<a<-,3<aのとき
3
M(a)=a°-2a+1
27
4
M(a)=
X
a 4
3
3
Oa
ーhan3のとき
4
3
;a
27
a
-のは, x= は
の点において接するから,f(x)-
意(*) 曲線」y=f(x) と直線y=7
で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
最大値·最小値、方程式·不等豆
