9 不等式の種々の問題
x21+a、x"+a
を満たす
2n
n
例題9 すべての実数x, 正の整数nについて、
[01 立命館大)
定数aの値の範囲を求めよ。
指針 すべての実数xについて不等式が成り立つ
不等式を変形して f(x)>0 としたとき ① {f(x) の最小値} >0
2 f(x) が2次式のとき判別式 D<0
解答 n>0 であるから,分母を払うと x"+a>2x"+2a
ゆえに(x"-1)-a-1>0
ここで,(x"-1)20 は常に成り立つ。
よって,すべての実数xについて不等式が成り立つための必要十分条件は
-a-1>0
したがって,求めるaの値の範囲は a<-1 答