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-4プロセス数学Ⅲ
また
86-
313 y=(2r+2)e"+(x"+2x+ale"
=(x*+4x+a+2)e*
y=(2.x+4)e*+(x"+4x+a+2)e*
=(x+6r+a+6)e"
lim f'(x) = lim
-1+0
1-2x
-ズ
1-2x
ー1-0 V1-ミ、
『→
エー-1+0
lim f(x) = lim
エ→1-0
よって,グラフの概形は(図」のようにた。
e">0 であるから, y"=0とすると
+6r+a+6=0
1 関数/(x) =xV1-xはな
を満たすから、関数 y=fu
関して対称である。
2
この2次方程式の判別式をDとすると
D
%=D3"-1-(a+6)=3-a
/mのグラフは
参考2 xが定義城の端に近くときのf\a
限を調べることによって、定義隊の端にモっ
D>0すなわちa<3のとき, y"=0は異なる2
つの実数解をもち, その解の前後でy”の符号が
変わるから,変曲点は2個になる。
D<0すなわちa>3のとき, 常に y"20 となる
から,曲線は常に下に凸で、 変曲点をもたない。
よって,変曲点の個数は
a<3のとき2個, a>3のとき 0個
(3) 関数の定義域は,
ズキ+2
とき曲線の接線の傾きが
ができる。(2), (3), (4) でも同様。
関数の定義城は,4-x20であるから
か(または無限大に発散するか)を調べるこ。
どのような値に近っ
「x) = とする
r=ェ+
(ォ-2
-2SxS2
f(x) =x-2+V/4-x とすると、一2<1<1a
S(x) =1-2
314 (1) 関数の定義域は, 1-rN0であるから
-1SxS1
おいて
"(x)=4-
1(x-2
1
x) = xV1-xとすると, -1<x<1において
-2x
-2x
2/4-x
4-
VA-
f(x) =1+
f(x) =0 とすると
f"(x) =0 とすると
f(x)の増減やグラ
なる。
1-2x2
P(x)=VI-x"+xi
V1-x
V4-
-2x
24-ズ
4-x
2V1-x
-2x
f"(x) = -
-4xV1--(1-2x).
"(x) =
2V1-x?
4
1-x
(4-xV4-x
ズ=4-
<0
x2x°-3)
(1-ポV1-
f(x)
f(x) =0 とすると
x=2
よって
f"(x)
S(x) =0 とすると
のより,x20 であるから
f(x)
ズ=2
f(x) の増減やグラフの凹凸は,次の妻のようこ
"(x) =0 とすると
S(x)の増減やグラフの凹凸は, 次の表のように
なる。
x=0
なる。
X
-2
V2
1
0
-1
f'(x)
0
f"(x)
変
f'(x)
0
0
f(x)
-4|7|極大 0
f"(x)
極小
ズ=V2 のとき
lim
エ→-2-
変曲点
fx) =22 -2
また
flx)
0
1
また
lim
エ→2-C
lim
0
lim f'(x) = lim-
ズー-2+0
ミ
ズー→
1
1
よって,3直箱
V2
lim f'(x) = li {1
エ→2-0°
X
の漸近線であ
V-
0
エー-)
よって,グラフの概形は 図]のようになる。
以上から,グ
参考 関数 f(x
極大
|0
たすから、関
て対称である
1
2
314 次の関数のグラフの概形をかけ。
*1) y=x/1-x?
(ース
(2) y=x-2+/4-x
x3
*(3) y=2-4
ース2
ース
(4) y=x--1
314>(4) p.90 要項の 「漸近線の求め方」 も参照。
ex(ズ+6ス+6+47
T-ズ
