28 nを自然数とし, 3進法で表したとき 11の後に0がn個続く数を anとする。
n
すなわち, an=1100……0(3) である。
(1) anを10進法で表して素因数分解せよ。
(2)以下,すべて10進法で考える。 anの正の約数の和を Sm とする。Sm235×10°となる最小
の自然数nを求めよ。 ただし, log.o3=0.4771 とする。
H-8
【類関西大)
指針
(1) まずは, anを10進法で表す。
3"でくくると素因数分解できる。
(2) 正の約数の和は, (1) で示した素因数分解の結果を用いる。
和の計算では,等比数列の和の公式を用いる。
条件 S,235×10° から, n を指数に含む不等式が出てくる。両辺の常用対数をとるこ
とにより nを求める。
B)
IC)
ID)
(1) anを 10進法で表すと
an=1100……0(3) =1·3"+1+1·3*=3"(3+1)=2°.3"
(2) Sn=(1+2+2°)(1+3+……+3")
1-(37+1-1)
0-08
7
=7.
3-1
2
S235×10°とすると
(3*+1-1)235×10°
2
3*+1-1210°
37+1210°+1
よって
3"+1210°+1 のままでは, 両
辺の常用対数をとっても右辺
の計算がうまくできない。
そこで, nが自然数のとき
3"+1210°+1 と 3*+1>10° が
同値であることを利用し,
3"+1>10° の常用対数をとっ
て考える。
ゆえに
nは自然数であるから
37+1>10°
この不等式の両辺の常用対数をとると
log1o37+1>1og1010°
(n+1)×0.4771>9
よって
ゆえに
9
=18.8 …
0.4771
これを満たす最小の自然数nは
したがって, Sn=35×10° となる最小の自然数nは 18
n=18
