Question

大学1年生

⑵の解説の6行目「nは自然数であるから3^n+1>10」というのが、いまいちピンとこないので説明していただきたいです🙇🏼‍♀️

28 nを自然数とし, 3進法で表したとき 11の後に0がn個続く数を anとする。
n
すなわち, an=1100……0(3) である。
(1) anを10進法で表して素因数分解せよ。
(2)以下,すべて10進法で考える。 anの正の約数の和を Sm とする。Sm235×10°となる最小
の自然数nを求めよ。 ただし, log.o3=0.4771 とする。
H-8
【類関西大)
指針
(1) まずは, anを10進法で表す。
3"でくくると素因数分解できる。
(2) 正の約数の和は, (1) で示した素因数分解の結果を用いる。
和の計算では,等比数列の和の公式を用いる。
条件 S,235×10° から, n を指数に含む不等式が出てくる。両辺の常用対数をとるこ
とにより nを求める。
B)
IC)
ID)
(1) anを 10進法で表すと
an=1100……0(3) =1·3"+1+1·3*=3"(3+1)=2°.3"
(2) Sn=(1+2+2°)(1+3+……+3")
1-(37+1-1)
0-08
7
=7.
3-1
2
S235×10°とすると
(3*+1-1)235×10°
2
3*+1-1210°
37+1210°+1
よって
3"+1210°+1 のままでは, 両
辺の常用対数をとっても右辺
の計算がうまくできない。
そこで, nが自然数のとき
3"+1210°+1 と 3*+1>10° が
同値であることを利用し,
3"+1>10° の常用対数をとっ
て考える。
ゆえに
nは自然数であるから
37+1>10°
この不等式の両辺の常用対数をとると
log1o37+1>1og1010°
(n+1)×0.4771>9
よって
ゆえに
9
=18.8 …
0.4771
これを満たす最小の自然数nは
したがって, Sn=35×10° となる最小の自然数nは 18
n=18

Answer 1

✨ Best Answer ✨

A

今回は同値にするためには、nが自然数という条件が必要になります！
同値になる理由は10^9を3で割った余りが1で、
10^9+1を3で割った余りは2となるため、
3^(n+1)>10^9⇒ 3^(n+1)≧10^9+1
も言えます！nが自然数でないとこれが言えず、逆には戻れなくなります。つまり同値ではなくなります。
ただ、nが自然数と書いてなくても○になると思います！

大学1年生

回答ありがとうございます！
3で割った余りが2となるところまでは分かるのですが、
そこから何故3^(n+1)>10^9⇒3^(n+1)≧10^9+1となるのですか…？
理解力なくて申し訳ないです(><)

A

例えば次のような不等式を考えます。
3>2⇒3≧2+1
6>2⇒6≧2+1
6>5⇒6≧6+1
21>20⇒21≧20+1

このように
(3の倍数のA)>(3で割った余りが2のB)⇒A≧B+1
が成り立ちます。
今回は左辺が3の累乗なので3の倍数です。

A

3つ目の不等式はミスです。
6>5⇒6≧5+1
でした。

大学1年生

なるほど！納得しました💡
ありがとうございます！！

Answer 2

lv0043

単なるコメントで済みません。

nが1/2, 1/3, のような1より小さい数なら3^(n+1)は3より小さい数となるため10^9より大きいことはありえない。
nが1より大きい小数だとしても、3^(n+1) ≧ 10^9 + 1 ならば 3^(n+1) ＞ 10^9 となるでしょう。
nは自然数 (1,2,3,....) であるならばなおのこと、3^(n+1) ≧ 10^9 + 1 ならば 3^(n+1) ＞ 10^9 となると言えます。
nが虚数ならば...、もっと特殊な数なら、... どうなるのでしょうね。

とりあえず、自然数なら間違いなく、3^(n+1) ≧ 10^9 + 1 ならば 3^(n+1) ＞ 10^9 となると言えるから、
ということなんですかね。

大学1年生

回答ありがとうございます！
例えばn=1/2のときって3^(n+1)=‪√‬27となって、3より大きくなりませんかね？🤔
数は無限に続くので難しいですね😅

lv0043

ご指摘の通りです。ボケてますね。 3^n　ではなく 3^(n+1)でしたね。