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えを0でない複素数とする。点z-- が2点i,
点えの存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
指針> 2Sz+ 10 と不等式で表されているから、 z+-
重要
a 29 不等式を満たす点の存在範囲 (3)
複素数平
57
基本 22
えを0でない複素数とする。2が不等式2名z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
16
S10 を満たすとき、点zが存
2
16
重要5
値である。
16
は実数である。
そこで、まず が実数 %3D● を適用して導かれる条件式に注目。
2
員域として
の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。
なお,z+
別解
1章
解答
16
z+
は実数であるから2+ 15-z+ 16
別解 z=r(cos0+isin0)
(r>0, 0S0<2x) とすると
き
る
16
16
よって +
+2=
る
ゆえに a+16z=z|zパ+16z
16
え+
る
(zーる)|2f-16(z-を)%3D0
(2-2)(aピ-16)=0
(z-2)(2|+4)(z|-4)%30
|2|=4
よって
部。
ゆえに
+ーino
16
よって
|z-4|
16
|z|>0から,
1a|=-4は不適。
したがって
2=2 または
+2
は実数であるから
[1] 2=2のとき,zは実数である。
16
アー
r
PSBP
A, Bを
三分線およ
ある。
=0 または sin0=0
16
2Sz+
が成り立つための条件はz>0であり,このとき
すなわち r=4または0=0
(相加平均)2(相乗平均)により
16
2+
る
16
る-
=8
または0=π
[1] r=4のとき
(等号はz=4のとき成り立つ。)
16
2+ =8cos 0
2
すなわち,2<z+
2
16
は常に成り立つ。
よって,248cos 0<10 と
-1Scos0S1から
2>0のとき, z+
16
K10を解くと, 2+16<10zから
1
ハcos0<1
4
る
[2] 0=0 のとき
(z-2)(2-8)S0
[2] |2|=4のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
2S2S8
16
ス+ =r+
2
16
r
ある。22=4° であるから
16
=ス
16
-ハ10か
r
よって,2<r+
16
-A10から
左側。
2<z+
2Sz+zS10
ら 2SrS8
[3] 0=πのとき
1355
16
え+
の外部。
ゆえに
<0
2
X
すなわち
1S(zの実部)<5
011 2 14
これは条件を満たさない。
[1], [2] から,点zの存在する範囲は、
右図の太線部分。
以上から,左図の太線部分。
せよ。
10
Liを結ぶ線分上を動くとき,
練習
3
29
4復素数と図形
