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基本例 例題 52 2次方程式の解の存在範囲
00000
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数』の
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
指針 2次方程式x2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1> 0 かつβ-1>0
/p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 → α-3と β-3が異符号
以上のように考えると,例題 51と同じようにして解くことができる。 なお、グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式x2px+p+2=0の2つの解をα, β とし, 判別解 2次関数
解答 別式をDとする。
=(−p)²=(p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2)
解と係数の関係から a+β=2p, aß=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1)>0
D≧0 から
よって
(p+1)(p-2)≥0
p≦-1,2≦p...... ①
(α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2> 0 から
2p-2>0
よって p > 1 ...... ②
(α-1) (β-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から
よって
~
p+2-2p+1>0
p<3 ...... ③
求めるかの値の範囲は,①,②,
③の共通範囲をとって
②
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1)1=(p+1) (p-20,
軸について x=p>1,
(1)-3-p>0
から 2≦p<3
YA
x=py=f(x)
3-P
+
α P
0
1
B x
(2)(3)=11-5p < 0 から
p>11
5
-1 1 2 3 p
<題意から α=βはあり
えない。
2≦p<3
(2) α<β とすると, α<3<βであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
すなわち aβ-3(a+β)+9<0
ゆえに
p+2-3・2p+9 < 0
よって
5
練習 2次方程式 x²-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数αの値
52 の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに2より大きい。
(2) 2つの解がともに2より小さい。
(3)1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。
p.91 EX34
