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0 応用につながる基礎
数列の和の公式の証明
和の公式を証明しよう。
①
(2k={\n(n+1) @2k²= n(n+1Xx²m+1) © 2= {{(+1)
[①の証明]
#k=1+2+3+……....+n
は,初項1, 公差 1, 末頃n, 項数nの等差数列の和であるから, 等差数列の和の公式より、
k=n(n+1) ( 証明終わり)
[② の証明]
次の恒等式において, k = 1, 2, 3, …, n とすると
(k+1)³-k³ = 3k²+3k+1
2°-1°= 3.1°+3・1+1
33-2°= 3.2°+3・2+1
4°-3°= 3・32+3・3 +1
:
⠀
k=1:
k=2:
k=3:
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
k=n:
これらをすべて足すと,
(n+1)³ −1 = 3 ½ k²+32k+n
よって,
32 k² = (n+1)³ −3 · ½ n(n+1)−(n+1)=(n+1){2(n+1)² −3n-2} = n(n+1)(2n+1)
ゆえに,
=1/n(n+1)(2n+1)(証明終わり)
[③の証明]
次の恒等式において, k = 1, 2,3,..., n とすると
(k+1)¹-k¹ = 4k³ +6k² +4k+1
24-1=4・1°+6・12+4・1+1
34-24=4.2°+6・22+4・2+1
4'-3'=4・3°+6・32+4・3+1
k=1:
k=2:
k = 3:
:
k=n:
これらをすべて足すと、
(n+1)^-n^=4n°+6n²+4n+1
(n+1)¹ −1 = 42 k³ +62 k² +42k+n
よう
こ
