Question

ゆ

この問題の☆のところのシャーペンで線をひいているところで、なぜ、この式が出てくるのかを教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

20
0 応用につながる基礎
数列の和の公式の証明
和の公式を証明しよう。
①
(2k={\n(n+1) @2k²= n(n+1Xx²m+1) © 2= {{(+1)
[①の証明]
#k=1+2+3+……....+n
は,初項1, 公差 1, 末頃n, 項数nの等差数列の和であるから, 等差数列の和の公式より、
k=n(n+1) ( 証明終わり)
[② の証明]
次の恒等式において, k = 1, 2, 3, …, n とすると
(k+1)³-k³ = 3k²+3k+1
2°-1°= 3.1°+3・1+1
33-2°= 3.2°+3・2+1
4°-3°= 3・32+3・3 +1
:
⠀
k=1:
k=2:
k=3:
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
k=n:
これらをすべて足すと,
(n+1)³ −1 = 3 ½ k²+32k+n
よって,
32 k² = (n+1)³ −3 · ½ n(n+1)−(n+1)=(n+1){2(n+1)² −3n-2} = n(n+1)(2n+1)
ゆえに,
=1/n(n+1)(2n+1)(証明終わり)
[③の証明]
次の恒等式において, k = 1, 2,3,..., n とすると
(k+1)¹-k¹ = 4k³ +6k² +4k+1
24-1=4・1°+6・12+4・1+1
34-24=4.2°+6・22+4・2+1
4'-3'=4・3°+6・32+4・3+1
k=1:
k=2:
k = 3:
:
k=n:
これらをすべて足すと、
(n+1)^-n^=4n°+6n²+4n+1
(n+1)¹ −1 = 42 k³ +62 k² +42k+n
よう
こ

1)
|10
15
コ
問26 次の和を求めよ。
(1) Ź2-3*-1
を記号Σ を用いて表すと
k=1
n
次に、
次に, k2 = 12 + 22 + 32 + •
よって
ゆえに
k=1
72
累乗の和
ここから期末
13 ページで求めた公式により2k=1/2n(n+1)である。
ark-
等式(k + 1) - k = 3k²+3k+1 において
k=1 とすると
k=2 とすると
k=3 とすると
1-r
n
3Σk² =
k=1
=
=
(2) (-2)*
k=1
a(1-r")
1-r
+n" を求めてみよう。
k=n とすると (n+1)³ — n³ = 3 ⋅n² +3•n+1
これらn個の等式の辺々を加えると
(n+1)³ — 1³ = 3 (1² +2²+...+n²) + 3 (1+2++ n) + n
= 324² +3 + x(x+1)+m
k=1
2°-1°= 3.12 +3.1 + 1
33-2°= 3.2 +3.2 + 1
4³ — 3³ = 3 ⋅ 3² +3·3+1
3
(n+1)³−1−2_n(n+1)−n
1
−(n+1) {2 (n+1)² — 3n-2}
2
=1/12(+1)(2㎡'+x)=1/21(+1)(2m+1)
(2n² n)
Σk² = n(n+1) (2n+1)
6
k=1
数列
高等
2 東

数b 数列の数

Answer 1

✨ Best Answer ✨

梅太郎

なぜこの式が出てきたのか？
このkの2乗の和の公式を導きたいと初めに思った人は、もっとたくさんいろいろ試したけれど、結果的にこの式を使ったら、導けた、というだけのことかなと思います。私たちは、もし「kの2乗の和の公式の証明をしなさい」という問題が出た時に、この式を使うんだったなあという認識ぐらいで大丈夫だと思います。（この式を使うことは覚えてないとできないですが💦）
納得できますか？

ゆ

こんにちは。
回答ありがとうございます。