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基本 例題 238 放物線と2接線の間の面積
00000
放物線 C: y=x4x+3上の点P (0, 3), Q(6, 15) における接線をそれぞれ、
mとする。この2つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
基本 236 237
指針 まず, 2 接線lの方程式と,l, mの交点のx座標を求め, グラフをかく
この交点のx座標を境に接線の方程式が変わるから,被積分関数も変わる。
・被積分関数は, (x-α) の形で表される。 よって、 定積分の計算では、
+α (Cは積分定数)を利用すると,かなりらくになる
重
fx-a)dx=
(x-α)
解答
y=x2-4x+3から
y'=2x-4
lの方程式は, y-3=(2-0-4)(x-0) から
mの方程式は,y-15=(2-6-4) (x-6) から
y=-4x+3
y=8x-33
lとの交点のx座標は, 4x+3=8x-33を解くと
<曲線y=f(x) 上の点
(α, f (a)) における接線の
方程式は
y-f(a) f'(a)(x-a)
S={(-4x+3)-(-4x+3)}dx
+S(4x+3)-(8x-33)dx
=Sxdx+S,(x-6)2dx
12x-36=0
よって、求めろうと見てから代
ゆえにx=3
つけないのかり
y
15
13
P
3
0
(x-6)3
横には
026
me
=9+9=18
16
曲線と接線の上下関係は
0≦x≦3では
x2-4x+3≧-4x+3
3≦x≦6では
x
までが対正し途中の
[参考 lとの交点をRとし、2点P Qを通る直線
x2-4x+3≧8x-33
◄√(x-a) dx= (x-a)"
f(x-α)
+C
3
ろび、上下関係がわ
とする。
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また, Cとnで囲まれた部分の面積をS, とすると,求める面積
Sは
S=△PQR-S
R(3,-9), n:y=2x+3であるから
2-30
3
ST
3.
S=1/11/12(15-3)+(3-(-9)}]
2本の跡が
R
-692
-S{(2x+3)(x-4x+3)}dx
941
fridr=54+ (x(x-6)dx
ある
m
x
