この式になるのはどうしてですか

432 基本 例題 105 を含む式が自然数となる条件 10 (1) 600が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 00000 がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 (2) 40 81 A.426 基本事項 21 CHART THINKING の式が自然数となる条件 素因数分解からスタート (1) (カの式)が自然数(カの式) が平方数(ある自然数の2乗) ← 素因数分解したとき、各指数がすべて偶数。 600 を素因数分解した結果をもとに, nがどんな形に素因数分解されるとよいかを考えよう。 (2) 分数の値が自然数 分子が分母の倍数 分母の40, 81 を素因数分解して, nの素因数を見極めよう。 解答 (1)600mが自然数になるには,600 がある自然 数の2乗になればよい。 600 を素因数分解すると 600-23-3.52 600 に 2-3 を掛けると よって、 求める自然数nは 2・3・52=(22・3・5)2 n=2.3=6 2600 (1) 2･3･5 を変形すると 2)300 2)150 3) 75 5)25 5 22.5×2.3 よって、(自然数の形の 最小の自然数にするため には、2・3を掛ければよ い。 本例 (1) 63 (2) 自 素因 素因 GHAI 自然 個数 総和 (2) 解 (1) (2 よ ま (2)40=23.5,81=3 であるから, 求める自然数nは2,3, 5 を素因数にもつ。 最小のnを求めるから, a, b, cを自然数として n=2.3.5° とおいてよい。 ²は2.5の倍数は 3 の倍数。 n2 224.326.52c が自然数となるための条件は 40 23.5 2a≥3, 2c≥1 ① n3 23.336.53c 81 34 が自然数となるための条件は ② 364 ① ② を満たす最小の自然数 α, b,cは a=2,b=2,c=1 よって、 求める自然数nは n=22・32・5'=180 PRACTICE 105 (1)√378 が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 (2ª.36.5)2 =224.326.52c 約分して分母が1にな 10 01 3 n n² (2) 512' 675 がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。

なぜθが鋭角だとcosθ＞0になるのですか？

基本 例題 0は鋭角とする。 (1) sin0=1のとき, coseとtan0 の値を求めよ。 (2) tan0=3のとき, sin と cose の値を求めよ。 指針 1) tan 0= 三角比の相互関係 0 が鋭角 すなわち 0°<<90° のとき sin O COS DO (1) 愛知工 /P.223 基本事項 基本144 (1) C (2) (2) sin' 0+ cos20=1 ③③ 1+tan20=- cos20 「指 を利用する。 次の手順で求めるとよい。 公式② (1) sin0 または cos cos0 または sin O 公式① tan 0 公式③ sin0=tanocosA(①) (2) tan0 COS A sina (1) sin 20+cos20=1から 解答 cos20=1-sin20=1-(2) 2 = は鋭角であるから 7 1-(2)-16 sino=を満たす COS > 0 A 三角形 √7 よって cos 0= 4 sinO また tan0= COS A 4 1 1 (2)1+tan20= から 3 √7 = 4 = 3 √7 =1+32=10 COS20 COS² 解答 / 4/ 13 A 0 7 3 tan0= を満たす直 1 三角形 したがって cos20= 1 10 0は鋭角であるから cos 0>0 よって cos 0= 10 また sin0=tan0cos0=3・ 3 13 \s+s 8 1 検 = 10 10- 参考 (1) の tan0= 3 17 の分母, 分子はそれぞれ右図の直角三角形の辺 √7 の長さと一致していて, 三角比と辺の対応がわかりやすい。その ため,本書では,三角比の値などで分母に平方根があっても有理 化していないことが多い。 分母 ②

ピンク四角がいまいち分かりません。平方完成してるみたいなかんじですか？特に三段目が分かりません

128 基本例 74 2次関数の係数の符号を判定 2次関数y=ax2+bx+c のグラフが右の図のようになるとき 次の値の符号を調べよ。 y ①① 0000 放 れ (1) a (2) b (3)c (4)62-4ac O 1 (5) a+b+c (6) a-b+c p.124 基本事項 2 グラフが上に凸か下に凸か、頂点の座標, 軸の位置 座標軸 指針 との交点などから判断する。 y (1) αの符号a>0⇔下に凸 「上に凸 a < 0⇔上に凸 b2-4ac 4a b (2)の符号 頂点のx座標 - 2a に注目。 a+b+c -1 αの符号とともに決まる。 (3)cの符号y軸との交点が点 ( 0, c (4) 62-4ac の符号 頂点の座標 b2-4ac に注目。 4a αの符号とともに決まる。 01 h 2a (5) a+b+cの符号 y=ax2+bx+cでx=1とおいたときの の値。 a-b+c (6) a-b+cの符号 y=ax2+bx+c でx=-1 とおいたときの の値。 (*) y=ax2+bx+c (1) グラフは上に凸であるから a <0 解答 (2) y=ax2+bx+c(*) の頂点の座標は b 62-4ac 2a" 4a 頂点のx座標が正であるから b 2a ->0 よって b <0 (1) より, a< 0 であるから 2a b>0 B (3) グラフはy軸とy<0の部分で交わるから c<0 (4) 頂点のy座標が正であるから (1) より, a < 0 であるから 62-4ac 4a0 b2-4ac>0 (5) x=1のとき y=a・12+6・1+c=a+b+c & グラフより, x=1のときy>0であるから a+b+c>0 (6)x=-1のとき y=α・(-1)2+b・(-1)+c=a-b+c グラフより,x<0 のときy<0であるから a-b+c< 0 B =a(x+ 20 62-4ac Aa >0⇔AとBは 同符号。 <0⇔AとBは 異符号。 (4) グラフと x 軸が 異なる2点で交わる から, b2-4ac> を導くことができる。 詳しくはp.175 を参 照。 0x | 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき,共 次の値の符号を調べよ。 (3)62-4ac (1) c (2) 6 (4) a+b+c (5) a-b+c 01 S-x+s

漸化式で I枚目のような最後が定数の式は普通に終われるのに ニ枚目のように最後がnの一次式の式は階差数列で求めないといけないのはなぜですか？ 赤線引いているところで終わりにならないのはなぜですか？

464 基本 例題 34 αnt=pan+g型の漸化式 00000 P.462 基本事項 2 重要 38, 基本48,51 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 a1=6, an+1=4an-3 同じ文字におきかえる =1,g≠0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.462 基本事項 _α-3を満たすα に対して,次のように変形 an+1=40-3 した特性方程式を利用する方法が有効である。 an+1-α=4(an-α) - - 等比数列の形。 -L α=4α-3 解答 an は??? する。 an+1-α=4(a-a) CHART 漸化式 α+1=pan+g 特性方程式 α=pu+gの利用 an+1=4an-3 を変形すると an-4(an-1) -1=6 とおくと bn+1=46n, b1=a-16-1=5 よって,数列{bm}は初項 5,公比4の等比数列である 1α=4α-3の解は なお、この特性方 を解く過程は、解 かなくてよい。 91-12 lis から 6n=5.4-1 ゆえに A2-1-2 別解 an+1=4an-3 a3-10b3 おくと an+2=4an+1-3 ...... an=bn+1=5.4"- '+1 ①でnの代わりに n+1と ② anan+1慣れてきたら、 まま考える。 ② ① から an+2-an+1=4(An+1-an) 定数部分(「一 数列 {az} の階差数列を {bm} とすると bn+1=4bn, bi=az-a1= (4・6-3)-6=15 a2=4a1-3 よって, 数列{6} は初項 15, 公比4の等比数列である から bn=15.4-1 ゆえに,n≧2のとき n-1 (*) An=a1+15.4-1 = 6+ k=1 =5.4-1+1 n=1のとき 5.4°+1=6 15(4"-1-1) 4-1 ③ n≧2 のとき an=a+2 k= a =6であるから,③はn=1のときも成り立つ。 したがって an=5.4" 1+1 初頭は 参考 (*)で数列{bm} の一般項を求めた後は,次のようにするとこの計算をしな (*)から Anti-a=15.4"-1 ①をする (1g-3)-=1

見えにくくてすみません 二枚目の上から3、4行目 b n+1＝4b nとなっていてb n+1のことを求めているはずなのに 次の行でそれはb nの初項は…となっていくのはなんですか？ b n+1はなんで無視されてるんですか？

基本 例題 34 an+1 = pan+α型の漸化式 の条件によって定められる数列{a}の一般項を求めよ。 (C) a1=6, an+1=4an-3 同じ文字におきかける P.462 基本事項 2

青線を引いたところなのですが、なぜ0<x<1の時のことを考えるのでしょうか。また、積分区間は閉区間内で考えるじゃないですか。等号が成り立たないのは開区間の時だけなのに、②の式ではイコールがつかないのはなんでですか？ すいません。わかりにくいかもです。

232 基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1) 00000 1 が成り立つことを示せ。 (1) 0≦x≦1 のとき,不等式 1+x2=1+x4 1 So (2) 不等式 x1 を示せ。 CHART & SOLUTION [類 静岡大] p.230 基本事項 2 (2)これまで学んできた知識では 1 1+xdx の計算ができない。そこで f(x)≧g(x) ならば f(x)dx≧Sg(x)dx (等号は、常に f(x)=g(x) のときに成り立つ ) を(1)の結果に適用する。定積分=その定義域である関区間内に含まれる 閑区間を指定して定する 解答 (1) 0≦x≦1 のとき (1+x2)-(1+x)=x2(1-x2)≧0 x20,1-x2≧0 よって 1+x2≧1+x>0 ゆえに 1+x2 1+x4 (2)(1) から, 0≦x≦1のとき 積分区間がOcx 1 1+x2 1 1+x4 ① ただし, 0<x<1 のとき ①の等号は成り立たない。 1+x2 よってx Socx dx 4 ・② +Sr<St dx I= o1+x2 において, x=tan0 とおくと 1 == 1+x2 xと0の対応は右のようにとれる。 1+tan'=cos20, dx= 等号は成り立たない。 1 にはx=αtan 0 x²+a² cosig do xC 0 → 1 inf 本間では,(1)(2)の π 00->>> 4 I= ゆえにco50.com doS30-[0]-4 03²o ヒントになっている。 (2)の みが出題された場合は π == = = COS2 また Sdx-[x]- =1 これらを②に代入すると<<1 )(x)かつ Sof(x)dx=Sg(x)dx =1 を満たす f(x), g(x) を見つける必要がある。

数cのベクトルの大きさの最小値の問題についてです。 →cを求めた後に |→c|をルートのまま計算するのと二乗してルートを外してから計算をするのとはどちらの方が良いですか？ ※２つの画像は形式は同じですが数値が異なります

よって1(3+t+(1+2t) =√10 3 = √9+6x+t² + 1 + 4t+4+* = 5t² + 10t + 10 = = 2 = √5 (t² + 2 + ) + 10 5 { (t + 1)² - 1² } + 10 √5 (+ + 1)² + 5 (-1, 5)

なぜこの式じゃだめなのでしょうか

318 基本 例題 36 組合せと確率 00000 は自然数とする。 白玉が5個, 赤玉がn個入った袋の中から,玉を同時に 2個取り出す。 (1)n=3 のとき, 白玉と赤玉を1個ずつ取り出す確率を求めよ。 (2) 白玉を2個取り出す確率が 18 CHART & SOLUTION a 確率の基本 Nとαを求めて N のとき, nの値を求めよ。 p.312 基本事項 2 基本20 場合の数Nやαの値を, 組合せ の考え方で求める。 (1) 白玉5個、赤玉3個のすべてを区別し, 異なる8個の玉から同時に2個取り出すと考え ると、取り出し方は2通りある。 この中で, 白玉と赤玉を1個ずつ取り出す方法は 5C XC 通り (2)と同様に考えると,nについての方程式ができるから,これを解けばよい。 解答 (1)玉を同時に2個取り出す方法は C2通り 白玉と赤玉を1個ずつ取り出す方法は 5C1 XC1 通り よって, 求める確率は 5C1 ×3C15×3_15 = 8C2 28 28 (21 It (1) 白玉5個に ① ② 0. ④ ⑤ 赤玉3個に ① ② ③ と番号をつけると 考える。

組み合わせを作る時に〇と|で考えるやり方を教えて頂きたいです。 またどのような場合にこのように〇と|で考えるのでしょうか

304 基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用) (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 CHART & THINKING 整数解の組の個数 ○と仕切りの活用 p.294 基本事項 3.基本29 (1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から 重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の〇と2個の仕切りの 順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x,y,zとする。 〇〇〇一〇〇一〇〇には 一〇〇一〇〇〇〇〇には 例えば がそれぞれ対応する。 (x,y,z)=(3,2,2) (x, y, z)=(0,25) (2)x,y,zが正の整数であることに注意。(1)の考え方では0となる場合も含むから x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおき, 0 であってもよい X≧0, 0, Z≧0 の整数解の場合 ((1) と同じ) に帰着させ る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから,残った7個の ○と2個の仕切りを並べることと同じである。 また,別解のように,10個の○と2個の仕切り | を使う方法でも考えてみよう。 解答 (1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列 に並べる順列の総数と同じであるから 9C7=9C2=36 (1) (2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと X = 0, Y ≧ 0,Z≧0 このとき, x+y+z=10 から 別解 求める整数解の組の 個数は、3種類の文字 zから重複を許して7個取 る組合せの総数に等しいか ら 3H7=3+7-1C7=9C7 要 例題 31 次の条件を満 (1) 0<a<b CHART & 大小関係が条 (1)条件を満た ら4個の数字 (2) (1) とは違 (2, 2, 2, 2 それらの数 重複組合せの A=a, B= (a, b, c, (A, B, C するから, (1) 1, 2, 小さい順 まる。 (2)0,1, =9C2=36(個) い順に よって (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10 ←x=X+1, y=Y+1, よって X+Y+Z=7, X≧ 0, Y ≧ 0, Z≧0 求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数 解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個 解 10個の○を並べる。 z=Z+1 を代入。 【別解 A このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを 入れ A|B|C 例えば としたときの, A, B, Cの部分にある○の数をそれぞれx, y, z とすると,解が1つ決まるから 9C2=36 (1) PRACTICE 30° 00100000 は 1000 (x,y,z)=(253) を表す。 (1)x+y+z=9を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組(x,y,z)は何個あるか。 条件 0 である よって 選べ した PRAC 次の (1) (

数B数学的帰納法です。 n＝k+1のとき、と言っているのに漸化式でn＝kとする、とはどういうことですか？

基本 例題 48 数列の一般項と数学的帰納法 0000 a1=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列{an} に 明せよ。 CHART & SOLUTION ついて,一般項 αn を推測し, それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証 [宮崎大 ] p.420 基本事項 1 基本45 漸化式と数学的帰納法 n=1,2,3, で調べて化 (一般化) 実際に n=1,2,3, ……… のとき (a1,a2, Q3, ……………)を求め,その規則性からan を推測し, それを証明する。 基本例題 30のINFORMATION も参照。 解答 α=-1, a2=a2+2・1・α-2-3 a3=az2+2・2・α2-2=-5 a=a2+2・3・α3-2=-7 ゆえに, an=-2n+1 ...... ① と推測される。 すべての自然数nについて ①が成り立つことを数学的帰納 法で証明する。 [1] n=1のとき (−1)2+2(−1)-2 (-3)2+4(-3)-2 (-5)²+6(-5)-2 ←負の奇数、すなわち -(2n-1)=-2n+1 ① で n=1 とすると a=-1 よって, ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1 ak=-2k+1 AS n=k+1 のとき, 与えられた漸化式から ak+1= (ak)2+2kak-2 AS 漸化式でn=kとする。 M =(-2k+1)2+2k (-2k+1)-2k=-2k+1 を代入。 =-2k-1 1 =-2(k+1)+1 したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。