384 第6章 微分法
例題 197 絶対値記号を含む関数のグラフ
関数 y=x|-3| のグラフをかけ.
考え方 絶対値記号の中が0以上か負かで場合分けをして,
まず、絶対値記号をはずす .
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A(AZO)
|A|=
-A(A<0)
場合分けをしたそれぞれの関数について, y' の符号
を調べ、増減表を書けばよい. そのとき, 定義域に注意する.
x2-3
解答
=
x2-3 (x≦√3√3≦x)
|x2-3|-
-x^+3(-√3 <x<√3 )
より、
x-3x (x≦√3√3≦x)
y=
l-x+3x(-√3 <x<√3)
(i) y=x-3x(x-√3-√3≦x) のとき
y=3x²-3=3(x+1)(x-1)
y'=0 とすると, x=-1,1
これは,区間x≦-√√3,√3≦x にない.
(ii) y=-x+3x (-√3<x<√3) のとき
y′=-3x²+3=-3(x+1)(x-1)
y'=0 とすると,
x=-1,1
これは,区間 -√3<x<√3 にある.
(i), (ii)より,yの増減表は次のようになる.
=(x+√3)(x-√3)
より,
(x+√3)(x-√3)≥0
のとき,
(x+√√3)(x-√3)<0
のとき,
3x2-3=0より,
x2-1=0
つまり, x=±1
x
3
...
-1
...
1
...
√3
y' +
=
0 +
0
+
極大
極小
極大
極小
y
0
-2
2
0
よって, グラフは右の図
のようになる.
y
2
N
Focus
√31
10
-2
絶対値記号を含む関数のグラフをかく
場合分けをして増減や極値を調べる
練習 (1)関数y=xlx-3| のグラフをかけ.
[197] (2) 関数y=|x-3x| のグラフをかけ.
***
区間により, 関数が
違うので注意する。
x=√3-√3 のと
きは,y'=0(y' は存
在しない) であるが、
その前後での符
号が変わるのでこ
の点でも極値をとる.
f(-x)
=-x|(-x)2-3|
=-x|x-3|
=-f(x)
より,f(x)は奇関
数であるから, グ
ラフは原点に関し
て対称である.
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