39 関数の最大・最小
103 実数x,yがx+y=3,x≧0, y≧0 を満たしている。
(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) xy2 の最大値と,そのときのx,yの値を求めよ。
y=3-x
1
解答 (1) x+y=3 から
y≧0であるから
3-x≧0 すなわち x≦3
よって, xのとりうる値の範囲は 0≦x≦3. ②答
(2) ①から
xy²=x (3-x)2=x3-6x2+9x
f(x)=x-6x2+9xとすると f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると x=1,3
② の範囲において, f(x) の増減表は右のよう
になる。
よって, f(x)はx=1で最大値4をとる。
x=1のとき, ①から y=2
したがって, xy2 は x=1, y=2 のとき, 最大値4をとる。
x
f'(x)
f(x)
0
...
+
7
1
0
4 V
97
3
第6