(2)の赤線についてです。 最初からy=sin2θなのに、「y=sin2θと置換する」のようになるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

121 回転体の体積 (VI) 媒介変数を用いて, r=sin0, y=sin20 (0≤0≤2) と表される曲 線Cについて 次の問いに答えよ (1) Cの概形をかけ. (2)Cy0 の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積 Vを求めよ. 精講 (1)媒介変数を用いてx, y が表されていますが, 64 によれ 「y=(xの式)」の形にできるのであれば, 媒介変数のまま微分 する必要はありません。 (2)関数が媒介変数を用いて表されていても,軸まわりの回転体の体積の公 式は1つしかありません。 すなわち xfy'dx です。 解答 (1)y=2sincost において, sin0=x とおくと cos0=√1-sin20=√1-2 (cos≧0より) y=2x√1-x² (0≤x≤1) 0≦x<1のとき y'=2√1−x²+2x•—(1−x²)¯½·(−2x) 82(1) 注 参照 =2√1-1- x² 2(1-2x2) √1-x2 y'=0 を解くと x= √2 (0≦x<1より) y"=2・ 1-x2 2x(2x2-3) (1-x²)√1-x20 IC

(1)について質問です。 1番右の画像のように解こうとしましたが、途中で止まってしまいました。 どこがダメなのでしょうか？ お願いいたします🙇🏻‍♀️

121 回転体の体 媒介変数を用いて, x=sin0, y=sin200≦ (0≤0≤7) と表される曲 線Cについて 次の問いに答えよ. (1) Cの概形をかけ. (2) Coy≧0 の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積 Vを求めよ. 精講 (1) 媒介変数 0 を用いて x, yが表されていますが,64 によれ ば「y=(xの式)」の形にできるのであれば, 媒介変数のまま微 する必要はありません。 (2)関数が媒介変数を用いて表されていても,x軸まわりの回転体の体積の 式は1つしかありません. すなわちπfydxです。 解答 (1)y=2sincose において, sin0=x とおくと cos0=√1-sin20=√1-2 y=2x√1-x2 (0≦x≦1) 0≦x<1のとき (cosO≧0 より) y' =2√1−x²+2x • ½-½ (1−x²)-(-2x) =21 y'=0 を解くと x2 2(1-2x2) √√1-x2 x=1/12 (0≦x<1より) - IC y" =2.. =- 2x(2x²-3) (1-x²)√1-x² 1-x2 ≤0 √1- 82(1)参照

赤線部分はなぜ調べる必要があるのでしょうか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

基礎問 120 回転体の体積 曲線 y=(vi-√a)(x,a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=a によって囲まれた部分を直線 y=aのまわりに 精講 1回転してできる体積Vを求めよ. (1)75 をもう一度読みかえしてみましょう.今回は,極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります。 それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2) 今まで学んだ回転体の体積は,回転軸がx軸かy軸だけです.今回は, y=a です。 いったい、どのように考えればよいのでしょう. 目標は,「回転 軸をx軸に重ねる」ことです. (1)>0のとき 解答 y' = 2(√x−√a) · (√√x - √ a)' = x ¯ ½ (√√x - √√ a) 1x=0 のとき, 'の分母 となるので √a =1- √x √a y"=- ->0 2.x√x JC Y' y a a : - 0 + 0 > よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな x+0 り, limy'=-8, limy=∞ よりグラフは右図. O a X X 0 lim t

(2)について質問です。 なぜこのような式になるのか分かりません💦 お願いいたします🙇🏻‍♀️

119 回転 2つの曲線 y=sinx (0≦x≦2x,y=cosx 次の問いに答えよ. (0≦x≦2x)について、 (1) 2つのグラフの交点のx座標α,β (0 <α <β <2π) を求めよ. (2)≦x≦において, 2つのグラフで囲まれた部分をx軸のまわり 精講 に1回転してできる立体の体積Vを求めよ. (1) 三角方程式 sinx=cosx を解くことになりますが、2つの方 法があります. (2) 回転するべき図形は, 回転軸(z軸) の両側にまたがっていま すから117 の要領で式を立てますが,図を見るとある特徴があります。 解答 (1) sinx=cosx において, COSx=0 とすると, sin.x=0 となり, sin'x+cos'x=1 をみたさないので矛盾. よって cosx≠0 である. 両辺を cosxでわると, tanx=1 π 5л 0≦x≦2 だから, x= 4' 4 5π 4 α<B だから,α=4,B= (別解) (IIBベク 59: 三角関数の合成 ) sinx=cosx より sinx-cosx=0 合成して√2 sin(r-4)=0 π 4 だから4=0,π 4 4 8 5π 4'4 5π a<B より a=B=5x 4 4 (2)2つのグラフで囲まれた部分とは,〈図I>の斜線部分で求める体

(2)について質問です。 赤線のように分かるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

基礎問 119 回転体の体積 (IV) 2つの曲線 y=sinz (02), y=cosz (02) について 次の問いに答えよ. (1) 2つのグラフの交点のx座標 α, B(0 <α <B<2z) を求めよ. (2)u≦x≦β において,2つのグラフで囲まれた部分を軸のまわり 精講 に1回転してできる立体の体積Vを求めよ。 (1) 三角方程式 sinr=cosx を解くことになりますが、2つの方 法があります。 (2) 回転するべき図形は, 回転軸 (x軸) の両側にまたがっていま すから117 の要領で式を立てますが,図を見るとある特徴があります。 解答 (1)sinx=cosx において, COSI = 0 とすると, sinx = 0 となり, sin'x+cos'x=1 をみたさないので矛盾. よって cosx≠0 である. 両辺を cosx でわると, tanx=1 0≦x≦2 だから, x=- TC 5л 4'4 a<B だから、u=7B=5 4 (別解)(IIBベク59: 三角関数の合成) sinr=cosr } sinx-cosx=0 合成して√2 sin(エース)=0 TC ニュースだから、エース=0, π X=- 4 TC 5π 4'4 a<Bより4=4B= B=57 4 (2) 2つのグラフで囲まれた部分とは, <図I> の斜線部分で求める体

はてなが書いてあるところがわかりません 教えてください

思考プロセス 例題 131 等速円運動 動点Pがxy 平面上の原点Oを中心とする半径rの円上を一定の角速度 | w (ω>0) で運動している。 一定の角速度 で運動するとは, 動径OP が 毎秒 ラジアンだけ回転することをいう。 今, 点P が (r, 0) にあるとす る。 W (1)t秒後における点Pの速度と速さを求めよ。 (2)点Pの速度と加速度 αは垂直であることを示せ。 《 Action 平面上を移動する点の速度は,各座標を時刻で微分せよ 例題130 (1) まずは, t t秒後の位置を考える。 条件 ①・・・t秒後の一般角は wt 【条件 ②... 点 (r, 0) から出発 t秒後の位置は □ □ (2)結論の言い換え とαは垂直 内積 v.α = 解 (1) t秒後における点Pの座標を (x, y) とすると,動径 OP の表 す一般角は wt であるから x=rcoswt y = rsinwt dx dy -rwsin wt, =rwcoswt dt dt よって -r 思考のプロセス 例題 13 原点 C で を求め 条件 [条件 条件 【条件 Acti P(x,y) Kwt 0 解 時刻 t 66 例題 y=lo: 点Pの P(x,y) 点Pの位置をtを用いて 表す。 dx dt よって wt円の媒介変数表示 rx y dx r P(x, y) dt Jo ①に -r O v=-rosinot, rwcoswt) |v|=√(-rwsinwt)2 + (rwcoswt) 2 =√rew(sin' wt+cos' wt x=rcose,y=rsind rw d² x 1)>0, w>0 (2) dt2 = -rw² coswt, d² y =-rw² sinat αの向きは dt2 した よって, 加速度 αは a = (-rw² coswt, -rw² sinwt) したがって var sinwtcoswt-rew coswtsint = 0 00よりは垂直である。 α 0 鳴るまでの間に lal = rw² >0 練習 131 例題 131 において, 点Pが動いている円を C, 点Pの速度を するとき,次の(1),(2) を示せ。 (1)向きは、点Pにおける円 C の接線の方向である。 246 (2)αの向きは,点Pから円 C の中心への方向である。 加速度をと p.254 問題 131 0≤ x 練習 132

この問題の（2）（3）の解説お願いします！ （2）の答えは324π平方センチメートル、（3）の答えは63π平方センチメートルです

166 底面の半径が3cmの円錐を,右の図のように平面Q上に置 く。この円錐を、頂点を固定し,Q上をすべることなく転がすと, ちょうど6回転したところでもとの位置に戻った。 □(1) 円錐の底面の円がQ上にえがいた曲線の長さを求めなさい。 (2)円錐の側面がQ上にえがいた図形の面積を求めなさい。 (3)円錐の表面積を求めなさい。 Q 4 立体の表面積と体積 ULIKE 0

なぜ上下左右反対じゃなくて上下反対なんですか？

104> [レンズと像のでき方 (3) 次の問いに答えなさい。 (1) ヒトの目はレンズのはたらきで網膜上に像をつくって いる。 右の図は,紙に書かれた「わ」の文字を見ているよ うすを模式的に表したものである。 このとき,網膜上に はどのような像がうつっているか。 図の矢印 () の方向 から網膜を見たときの像として適切なものを、次のア~ エから1つ選び, 記号で答えよ。 [ ] レンズ 下 ヒトの目 網膜

物理力のモーメント F2cosθが力のモーメントの回転に無関係なのは何故ですか？？

1 32 右ページ上図のような質量m の一様な長方形の板にFF2 の力がは 考えます。 このとき、ちょうど床からの抗力は0になっているとします。 点を中心とする左回りのモーメントを求めましょう。 この問題では力がいろいろな方向に向きすぎているので, 鉛直方向と水平方向に分けましょう。 力がはたらく こうすると,回転に関係する力はFicose, Fisin0, F,sine, mgの 4つを考えればよいとわかりますね。 たときの左 のぞ 考えましょう。 それでは, 0を支点として,どちら向きに回そうとしている力なのかを考えましょう。 Fcoseは右回り, Fsin0は右回り, mgは左回り, F2 sin 0は右回り というのがわかりますね。 えると そして次は「力を分解する」か 「力を移動する」 かのどちらかを考えるのですが、 最初に力を垂直に分けてかき直したのですから、また分解するのはおかしいですね。 そこで「力を移動する」 方法で求めてみましょう。 左回りのモーメントを正とすると mg・2b-Ficos ・a-F1sin0 b-F2sinθ・4b 入り組んだ問題でもモーメントを求められましたね。 一般に、力が入り組んでいるときは、 まず垂直な2方向に分解してからモーメン トを考えると解きやすくなります。 また,モーメントに関して苦手意識のある人は ・棒の問題のときは力を分解して、うでの長さはそのままで掛ける ・板の問題のときは力を移動して,カに垂直なうでの長さを掛ける というように剛体別に解法を分けると解きやすいかもしれません。 これらのコツも覚えておくといいでしょう。

青線のところなのですが、なぜ引いてから二乗してはいけないのでしょうか。

264 基本 例題 166 x軸の周りの回転体の体積 (1) 00000 放物線 y=-x2+4x と直線 y=x で囲まれた部分を,x軸の周りに1回転 してできる立体の体積V を求めよ。 CHART & SOLUTION 回転体の体積 まず、グラフをかく ① 積分区間の決定 ②断面積をつかむ まず,グラフをかく。 2曲線の交点のx座標を求め、積分区間を 決定する。 この問題では断面積が S(x)=(外側の円の面積) (内側の円の面積) となることに注意。 解答 p.260 基本事項 2| 内側の円 2+4x x 外側の円 x2+4x=x とすると, x(x-3)=0 YA から y=-x2+4x x=0,3 y=x YA 4 4 0≦x≦3では-x2+4x≧x≧0 であ るから 3 オー 外側 内側 1 I O 213 V=S{(−x²+4x)²—x²} dx =(x-8x+15x)dx =A .5 13 0 x 234 G |-4|-- V={(-x2+4x)-x}dx としないように! (243 =π 108 -162+135 = πT 5 5 ・製造・ INFORMATION 2曲線間の図形の回転体 区間 [α, 6] において, f(x) ≧g(x)≧0 のとき,2曲 線 y=f(x) と y=g(x) 2直線 x=a, x=b で囲 まれた部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の 体積 V は 回転させたら円に YA y=g(x)=f(x)郎 f(x) g(x) 0 a V= ={{f(x)(g(x)}) dx なるから S(x)