数Ⅲ微分について 矢印のところの過程が分からないので教えてください。

考え方(1) 2k,Ca=1·,Ci+2* C2+… …+n*,Cn である.(1+x)”の展開式をとのように 364|第5章 微分法 Columin 「ラ Check 例題 169 微分の利用 +Cnx” を用 (1) (1+x)" の展開式(1+x)"=»Co+»Cix+»C2x?+ n xの いて,こ,Ca の値を求めよ. ただし, nは自然数とする 立つ。 (u2 k=1 o n=1 よ。 ただし,x|<1 のとき lim nx"=0 は用いてよい。 YOO (こ。 で n→0 (20Fxnia k=1 変形すれば,この右辺の形になるか考える。 (2) まず部分和を考える。(右辺)=x+2x°+3x°+… x(1+2x+3x°+ レ。 えると,( )内は (1+x+x°+x°+……)を微分した形になっている。 (L 解答(1)(1+x)” の展開式の両辺をxで微分すると, n(1+x)"-1=0+,C.·1+»C2*2x+… ……+,Cr'nx7-1 J入力 nCk は定数 …D のにx=1 を代入すると, n-2"-1=1,Ca+2,C2+3·»C3+ +nC 右辺をとを用い =2C。 て表す。 k=1 よって, こ&,C=n-2"-1 k=1 (2) xキ1 のとき, 1+x+x°+ +x"= xn+1-1 この両辺をxについて微分すると, x-1 初項1,公比x, 項数n+1の等比 1+2x+…………+nx"-1= 数列の和 n+1 (x-1)? nx rn+1 両辺にxを掛けて, (x-1)? x+2x°+…………+nx"=1nx"*2_(n+1)x*+1 (x-1)? Enx"=lim (x+2.x°+· よって, n=1 +nx") n→ 0 Ean=lim S rn+2 =lim n=1 カ→ 0 n+1 (x-1)? n→0 Ix|<1 のとき, x (x-1)? lim nx"+2 n→ 0 =lim nx"x=0 こ n→ 0

線を引いた部分が分かりません 解説お願いします🙇🏻‍♀️

分子は,初項1,公差1の等差数列である。すなわち, もとの数列の項数と分子は等 基本 例題112 群数列。 8 6 7 の分数の数列について、 550 9 10 11 4 5 4'4'4' 51 2 3 3'4 1 1'2'2'3' 3 [類東北学院大) 基本111) 初項から第210項までの和を求めよ。 指針> 分母が変わるところで 区切り を入れて,群数列 として考える。 分母:1|2,2|3, 3, 3|4, 4, 4, 4| 5, 1個 2個 第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10| 11, 3個 4個 しい。 る まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として, 次のように区切って考える。 6|7 8 もとの数列の第k頂は分 子がんである。また,第k 群は分母がんで, k個の数 3|4 5 1|2 1|2'2|3' 第1群から第n群までの項数は 9 10|11 を含む。 1+2+3+………+n=n(n+1) 4これから, 第n群の最後の 第210項が第n群に含まれるとすると 数の分子は (n-1)n<210か(n+1) ア 目番 0 よって (n-1)n<420Sn(n+1) の (n-1)n は単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420 であるから, のを満たす自然数 nは また,第210項は分母が20 である分数のうちで最後の数であ (半) 目番1a n=20 る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は 20·21=D210 n+1 2 -n= ゆえに,求める和は 3 は第n群の数の分子 2 の和→等差数列の和 20 k2+1 -E+)-(10-2)-41 +20) こ+21 \k=1 n(2a+(n-1)d} k=1 2 k=1 6 =1445 を入れる

？のところがわかりません！

第7章 202 基礎問 131 群数列(II) ずつ並んでいる数列を考える。 き,第n群の数字の総和を求めよ. (2) /第100 項目はどんな数字か. 初項から第100 項までの和を求めよ。 精講 いる群数列を考えるときは, 「第何群の何番目か?」 と考えます。 このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数に着目1 す。(130と同じ表現になっているところがポイントです) 解答 (1) 第n群は,n, n, …,n n個 その総和は, n×n=n° (2) 100 項目が第n群にあるとする. 第(n-1)群の最後の数は, はじめから数えると 1+2+…+(n-1)=Dn(n-1) (項目)だから、 つ、 (nー1)<1003(n+1) 0s の+1) n(n-1)<200Sn(n+1) 第(n-1)群 第n群 第(n+1)群 100項目 Plo 第n(n-1)項-- 第分n(n+1)項

黄チャートの例題81の(2)の解説のところです。 解説のところの、印がある 2 はなんの 2 でしょうか？？ 誰か心優しい方、教えてください🙇🙏

初項から第何項までの和が最大となるか。 また,その最大値を求めよ。 公差-4の等差数列 {an}において 463 初項 51。 重要83 AART OSOLUTION 等差数列の和の最大 の符号が変わる 基本79 OSOLUTION 項の値 和の値 久AH 負 正 nに着目 10) an を求めて, an<0 を満たす最小のnを求 an a S,a a2 S。 aia2 増加 ak-1 減少 S-1 a」:a。 最大 3章 める。 S。 (2) (1)より, 第k項から 負になるとすると、 第(k-1)項まではすべ て正であるから, 初項から第(k-1)項までの和が最大となる。 初めて負 になる ak+1 St+1 減少 10 a+1 い数 D0, 項数 答) 一般項は an=51+(n-1)·(-4)=14n+55 55 よって n> (公差は =13.75 0<0 とすると-4n+55<0 これを満たす最小の自然数nは n=14 この等差数列 {an}の初項から第n項までの和を Smとする。 0より,a,から a13 までは正の数,a4からは負の数となる から, Snは n=13 のとき最大となる。 ゆえに 第14項 音数は12 EOS Sis=13(2-51+(13-1).(-4)}=D351 2 88 よって,初項から第13項までの和が最大で, 最大値は 351 SA 最大 頂点 調 S,=n(2-51+(n-1).(-4)}=-2n"+53n II 11 I」 1 1 I 114 数 53)2 n 53 \? II 4/ 53 るさ小蔵共( -=13.25 に最も近い自然数13のとき最大 4 よって, nが 53 0 13/ 53 n 4 となり,最大値は -2-13+53·13=351 S8-3 | 数列 8lo 1N8

おしえてください

指針>群数列 1|2, 3, 4|5, 6, 7, 8, 9|10, 11, (1) 左から m番目,上から m番目の数は,上の群数列で第 m群の m 重要 例題113 自然数の表と群数列 113(1) 左から m番目, 上から1番目の位置にある自然 551 を、右の図のように並べる。 ①000O 自然数1, 2, 3, 11 2 5|10|17 を用いて表せ。 然数を m 4 3 6 11 18 9 8 7 12 るか。 [類宮崎大) 16|1514 13 基本111 3章 14 で考える。 … 1|2510 4-36|11 番目となる。 1) 150 が第m群に含まれるとする。第(m-1)群までの項数に注目 して、まず 150 が第何群の何番目の項であるかを調べる。 9|8|7|12 16151413 解答 並べられた自然数を,次のように群に分けて考える。 1|2, 3, 4|5, 6, 7, 8, 9|10, 11, (1) 0の第1群から第m群までの項数 1+3+5+……+(2m-1)= (検討 (1) m行m列の正方形を考える。 これって 小番月の頃サクフ13のとき 左から m番目,上から m番目は, ① 左ら 13-1 番用) 目の位置にあるから +0G よから 13部になるということをあ? (m-1)°+m=m-m+1 (2) 150 が第m 群に含まれるとすると (m-1)<150<mn 12°<150<13° から,この不等式を満たす自然数 m は m 個 には(m-1) 十m =m'-m+1が入る。 (2) 12°<150<13° であるから,上 の図で m=13 の場合を考える。 なお,例えば,165 は同じ第13 群の21 番目であるが,13<21 より,左から13-165+1=5 (番目),上から13番目である。 m=13 第12群までの項数は12°=144 であるから, 150 は第13 群の150-144=6(番目)である。 また,第13群の中央の数は 13番目の項で 6<13 よって, 150 は 左から 13 番目,上から6番目 の位置に ある。 1 2 4 7 練習|| 自然数 1,2, 3, を,右の図のように並べる。 3 5 8 数を mを用いて表せ。 田時(当食社 9 6 12) 150 は左から何番目,上から何番目の位置にある |か。 10 【類中央大) (p.556 EX75 S 種々の数列

図の意味が分かりません💦 この図はどういう風に解釈すれば良いのですか？

右端を初項と考えると, S. とをいう。各年度初めに積み立てるP円について, それぞれ別々に元利合計を計算し,最 指針>「1年ごとの複利で計算する」 とは, 1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算するこ 2 基本例題98 複利計算と等比数列 毎年度初めにP円ずつ積み立てると, n年度末には元利合tはいくらになえ。 年利率をr, 1年ごとの複利で計算せよ。ただし, r>0とする。 OO000 基本 96 初頃に 後に合計を求めることにする。 2年度末 (n-2)年度末(n-1)年度末 n年度未 3年度末 1年度末 設別(am) 例(5,) のームか よって P(1+r)* 円 P(1+)*-1 円 P円積立 P(1+r)-2 円 - P円積立 ームか よって P円積立 ケ 戻さ危 の比期別の和で ら 断条 のとき P(1+° 円 S L P円積立 3a-1 0を変形 0を代入 4 P(1+r)円 P円積立 ゆえに 121 図から,n年度末までの合計は P(1+r)"+P(1+r)" +P(1+r)+P(1+r) 円 #0であ n-1 等比数列の和 | d= 解答 これは 毎年度初めの元金は, 1年ごとに利息がついて (1+r)倍となる。 よって,n年度末には, 1年度初めの P円は P(1+r)"円, (1++ 2年度初めのP円は P(1+r)"-!円, 2 d= これは、 したがって 1年度初めのP円は P(1+r)円 したがって,求める元利合計 Snは Sn=P(1+r)"+P(1+r)"+ +P(1+r) になる。 n-1 項数nの等比数列の和であ る。 は初項 P(1+r), 公比1+7 題の状 (円) r いつの

この2問が分かりません。 詳しい解き方と答えを教えてください！

項数nの数列1n, 2·(n-1), 3.(n-2), n·1がある。 (1) この数列の第k項をkの式で表せ。 15 (2) この数列の和を求めよ。

(1)のn≧3のところがなぜそうなるか分かりません。 教えてください🙇‍♀️

>1(n-1) (n22) が示されるから, limnx"=ア である。したがって、 0<x<1 に対して、上=1+h とおくと, h>0 である。二項定理を用いて, OOO0 重要例題 1O7 無限級数 nr" 次の(1), (2)が成り立つことを示せ。 170 EXEF (類工学院大 (2) 2=2 カ=127 A 86 n (1) lim=0 重要 93, 数学B基本% カ→o 27 CHARTOSOLUTION (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二頂定理を用いて、, をはさみうちにする(重要例題 93を参照)。 87 88 S-TSの利用 (2) 無限級数Enr" まず部分和 S,を求め, n→8 の極限をとる。 -() 1 は, Sn-- Sn を作って求める。 部分和 Sn= 2(2 8 k=1 k=1 解答 (1) n23 のとき, 二項定理により n(n-1) n(n-1) 2 合Co·1"+,C·1"-1.1 2 0<く。 2 よって >,C2·1"-2.12 2" n-1 2 ここで, lim n→ n-1 -=0 であるから lim n =0 合はさみうちの原理 2→o 27 1 2 3 n とすると 27 Sn= 2 22 2° 1 2 n-1 n 22「 29 27 27+1 aよって 5-5--3 Sm 1 1 Sカ= 2 n 2° 23 2" の部分は,初項う 27+1 1? ゆえにS- 2 公比,項数nの等出 n 2 2カ+T-1- 27 n 1- 2 27+1 数列の和。 したがって n = lim S=lim(2 B 1 n =2 カ=127 27-1 → (1)の結果を利用。 PRACTICE… 1074 x 2 S=1+2x+ ト

この数列は階差数列ですか？ 一般項の求め方はこれで正しいですか？

117 と記号を用いた和の計算(I)い BIT X 次の数列の一般項と第n項までの和を求めよ。 等差数列と等比数列にはそれぞれ和の公式がありますが, 一般の数 列には和の公式はありません. このようなとき,第々項を求め, 2(第々項)として計算するのですが, こ計算は, 第k項の形によっ 精講 て、いくつかの計算方法(117~120 ポイント)があります。 解 答 与えられた数列の一般項は, 1+2+3+…+n これは,初項 1,公差1,項数nの等差数列の和だから, れ(n+1) 111, 112参照 よって,求める和をSとすれば n n n S= k(k k=1 \k=1 k=1 歌める、 1J1 2 (n+1)(2n+1)+}か(n+1) S会 S =n(n+1)(2n+1)+3)=n(n+1)(n+2) 4展開しないで共通 -n(n- 2n14 2(ute) 因数でくくるのがコ ツ ポイント n こネ=ラn(n+1), 三ピーの(n+1)(27+1), k=1 k=1 n n こドー Ec=nc k=1 k=1 (ただし, cはkに無関係な定数) 第7章

(2)分かる方解説お願いします🙇🏻‍♀️

彩香さんと響稀さんが、次の問題について考えている。 を正しく埋めよ。 は選択肢から選び、番号で答えよ。 「7 問題 次のように、正の奇数を小さい方から、n段目に れ個の数字が並ぶように、三角形の形に並べていく。 1: 3 7 ; 13 15 17 19 | 21 1段目 5 2段目 9 11 3段目 4段目 8 23 25 27 29 5段目 {a, n (1) n段目の最初の奇数はいくつか。 (2) n段目に含まれる奇数の総和はいくらか。 彩香:まず、正の奇数を小さい方から並べた数列を (a)としたら、 (a}:1, 3, 5, 7,9, '11, 13, 15, 17, 19, 21,……… 一般項は a, = 2n-1 ……0 やんね。 響稀:だけん、(1) はn段目の最初の奇数が (a.)の第何項かが わかったら求められるんちゃん。 彩香:それは (n-1)段目までにこR=|Ln-)n (個) の数字があるけん、第- (n-)nt! 項や。 |9 =-ntl 響稀:ということは、(1)の答えは -ntl かあ。 彩香:あっ、忘れとったけど、(n-1)段目って考えた時点で、 n22 のときにしか言えんけん、n=1を代入しても 成り立つかどうか、確かめないかんのちゃん? 響稀:彩香、すごおい。n=1 入れたら1になるけん、成り立つわ。 彩香:よっしゃー!(1) はできた。次は (2) やね。 響稀:(2) って、 結局は等差数列の和やけん、未項がわかれば 出るんちゃん。さっきと同じように考えたら、 n段目までに含まれる奇数の個数は、2ん==mn+1) (個) k=1 やけん、n段目の最後の数は やね。 彩香:n段目の項数は nやけん、等差数列の和の公式に入れて. 計算したら…… になったわあ。 響稀:こんな簡単な形になるんやね。 ホンマや、 5段目まで合っとる! あれっ、確か奇数の和って この= になるんやった よね。ということは、 n段目までに (n+1) 個の奇数が 含まれとるけん、1段目から n段目までの奇数を全部足したら、 になるってことやんね。 だから、公式 が成り立つんかあ。 彩香:響稀、すごおい。 公式の証明までできたやん。 ロ