Question

あみ

数Ⅲ微分について
矢印のところの過程が分からないので教えてください。

考え方(1) 2k,Ca=1·,Ci+2* C2+… …+n*,Cn である.(1+x)”の展開式をとのように
364|第5章 微分法
Columin
「ラ
Check
例題 169
微分の利用
+Cnx” を用
(1) (1+x)" の展開式(1+x)"=»Co+»Cix+»C2x?+
n
xの
いて,こ,Ca の値を求めよ. ただし, nは自然数とする
立つ。
(u2
k=1
o
n=1
よ。
ただし,x|<1 のとき lim nx"=0 は用いてよい。
YOO
(こ。
で
n→0
(20Fxnia
k=1
変形すれば,この右辺の形になるか考える。
(2) まず部分和を考える。(右辺)=x+2x°+3x°+… x(1+2x+3x°+ レ。
えると,( )内は (1+x+x°+x°+……)を微分した形になっている。
(L
解答(1)(1+x)” の展開式の両辺をxで微分すると,
n(1+x)"-1=0+,C.·1+»C2*2x+…
……+,Cr'nx7-1
J入力
nCk は定数
…D
のにx=1 を代入すると,
n-2"-1=1,Ca+2,C2+3·»C3+
+nC
右辺をとを用い
=2C。
て表す。
k=1
よって,
こ&,C=n-2"-1
k=1
(2) xキ1 のとき, 1+x+x°+ +x"=
xn+1-1
この両辺をxについて微分すると,
x-1
初項1,公比x,
項数n+1の等比
1+2x+…………+nx"-1=
数列の和
n+1
(x-1)?
nx
rn+1
両辺にxを掛けて,
(x-1)?
x+2x°+…………+nx"=1nx"*2_(n+1)x*+1
(x-1)?
Enx"=lim (x+2.x°+·
よって,
n=1
+nx")
n→ 0
Ean=lim S
rn+2
=lim
n=1
カ→ 0
n+1
(x-1)?
n→0
Ix|<1 のとき,
x
(x-1)?
lim nx"+2
n→ 0
=lim nx"x=0
こ
n→ 0

Answer 1

HS

分子をxについて整理しています。
nを数と思って展開してみましょう。

あみ

できました！ありがとうございます！