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gm 35 | 絶対値を含む不等式の証明 了
次の不等式を証明せよ.
⑪ |z+glslzl+|2| ⑫ |zl-lylsglz+yl
このまま差をとるよりも,
両辺を平方して差をとれば
=
衣華| 池対価を合むので
また, 14|=4 の性質を利用する.
(名 のとき, 14|=4 )
4<0 のとき, 14|>0, 4く0より, 14|>4
(⑫ (1の不等式を利用する。
寂四 (]) |z+2|=0, |z|+|2|=0 より, 平方して比べる. lcl=0, |2le0
(|zl+l6D*-lg+ が より,
=|lgF+2|gllgl+|ド一(2二の* lzl+Il=0
“2|g|上がゲー(g十2gのが) 4に
lg|-2z2=2(|z2|一の⑦) 14Ilg=|4g|
ここで lggl=z6 より, lo2|-Z2=0 となる. 14|=4を利用する.
よって, 不等式 lz寺1ミlz+|2| が成り立つ. 4ーg5 と考える.
0 とすることがで
る.
(Q⑪よまり, 1よめもにめほみyはに (⑪)の結果を利用
=lz+yl+lyl
したがって, |zl=lz+jトlyl
よって, 不等式 |ヶ|一lylミ|z+y| が成り立つ. |y| を左辺へ移項
コ 14|>|g| の証明 一つ 14ドー|gドニス"ー*>0 を示す
麗 例題 35 (1)は (面倒であるが) 次の場合に分けて証明することもできる、
』 () =0, 2=0, g填5を0. (0 4く0, 5く0, g二2く0。(仙 G=0、6く0、e寺96
(4=0. 2く0, 4十6く0. (y) g<0. 1U3 KA () gく0、5s0、c寺6<(
@は, () zにlyI<0 (⑩ lxl-lyls0 の場合に けで証明することもでき<、
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