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>16 通過範囲/ファクシミリの原理 -
10を原点とするzy平面において,直線y=1の|x|≧1 を満たす部分をCとする.
C上に点A(t, 1) をとるとき,線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ.
点AがC全体を動くとき,線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め、 それを図示せよ。
(筑波大)
((2)
本間は, 15の(ア)に似ている. tが全実数を動けば, 前問と同様
であるが,本問ではt≧1という制限がついているため, 逆手流で解くと解の配置の問題になってやや
パラメータに制限がある場合
面倒である。この場合は次のようにとらえるのがよいだろう.
ファクシミリの原理
となったとしよう. これは, 求める通過範囲 (Dとする) をy軸に
平行な直線x=xoで切った切り口が, y ≦y Sy2 であることを意味する. DD
xx に固定して,yをtの関数と見たとき,の取り得る値の範囲が
を実数全体で動かせばD全体がつかめることになる.
o
y=x,tの式」のグラフの, tを動かしたときの通過範囲を考えてみよう.
を固定して, yの取り得る範囲を調べる ( 1文字固定法)
という方法は,とくにtの動く範囲に制限があるとき,逆手流よりも簡単に
処理できることが多い.
解答量
(1) OA の垂直二等分線上の点をP(x,y) とおくと, OP2 AP2により,
x²+y²=(x-t)²+(y−1)²
. 2tx+
=t2+1
よって, OA の垂直二等分線の方程式は,y=-tx+1=1/2 (t+1)
(2)tt≧1 1......② で動かすときの①の通過範囲を求めればよい.
をXに固定し, tを②で動かすときの、 ①のyの範囲を求める
により.g=12/212-X1+1/2-1/12(1-x
P° |X|≧1のとき. ③ はt=Xのとき最小-
yの範囲は,y≧--
求める通過範囲は,y≧
-1/2x2+1/2
0≦X≦1のとき ③t=1のとき最小.
の範囲は、y=-X+1 ( ③ の中辺に代入 )
1≦X≦0のとき ③t=-1のとき最小.
の範囲は,y≧X+1
1
2
(|x|≧1),
1²-2²+ 2-4-
y-x+1 (0≤x≤1), y≥x+1(−1≤x≤0)
であり,右図網目部 (境界を含む).
2
(境界を含む)
1
1
-1 0
2
x
-y=92
y=y
x=xo→
(ファクシミリのように)
OAの中点を通り, OA(傾き1/t)
に垂直な直線として求めてもよ
い。
・③ ← ① にェ=X を代入して, t につい
て整理した.
A(t, 1) がC上にあるから,
|t|≥1
16 演習題(解答は p.106)
10,600 <<1とし、関数y=ar-bx のグラフは定点P(p,p) を通るとする.
-1 0 X 1
t
この原理の誘
