問31
次の数列{an}の一般項を求めよ。
(1) 1,2,5, 10, 17, 26,37,
(2)3,4, 1, 10, - 17,64, - 179, …..
考え方 階差数列をつくり,その一般項を求めて基本事項②の公式を用いる。
(1) この数列{an}, その階差数列を {bn} とすると, {bn} は
解答
1, 3, 5, 7, 9, 11,
となる。これは,初項 1, 公差2の等差数列であるから
bn=1+(n-1) 2=2n-1
したがって, n≧2のとき
An = A₁+ Σbk=1+(2k-1)=1+2Σk-≥1
n-1
k=1
=1+2.12 (n-1)n-(n-1)
n-1
したがって, n≧2のとき
= 3+
k=1
n-1
n-1
an = a₁ + b = 3+(-3) -1
k=1
k=1
=n²-2n+2
α=1であるから, an = ne-2n+2はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
an=n²-2n+2
(2) この数列{an}, その階差数列を {bn} とすると, {bn}は
1, -3, 9, - 27,81, -243,
1・{1-(-3)^-1}
1-(-3)
an
n-1
...
となる。 これは,初項 1,公比-3の等比数列であるから
bn=1.(-3)^-1= (-3)^-1
le=1
n-1
・k=1
3+ 11/12 {1-(-3)"-1}
1章 数列
=1/{13-(-3)^-1}
a1=3であるから,a,=-{13-(-3)^-1} はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
=-{13-(-3)^-1}
[注意] 基本事項②の公式は,n≧2のとき成り立つものである。 得られた式に
n=1 を代入した値が初項と一致することを確かめてから一般項とする。
